Würfelspiel mit gegebenem Erwartungswert + Funktion

04.12.2022, 09:29	Eistee88	Auf diesen Beitrag antworten »
Würfelspiel mit gegebenem Erwartungswert + Funktion Hallo zusammen, Ich muss für meine Stochastik Vorlesung diese Woche unter anderem die folgende Aufgabe lösen: [attach]56453[/attach] Für die a) habe ich bereits einen Ansatz, jedoch komme ich damit bisher auf keine sinnvolles Ergebnis. Meine Rechnung zur Gewinnwahrscheinlichkeit habe ich angehangen. Stimmt das soweit und wie muss ich die vorhandenen Werte in die Formel für den Erwartungswert einsetzen. um hier die Gewinnsumme zu erhalten? [attach]56452[/attach] Zu b) habe ich bisher keine Idee. Vielleicht hat ja jemand von euch da eine Idee. Vielen Dank im Voraus! Liebe Grüße Eistee88
04.12.2022, 09:49	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelspiel mit gegebenem Erwartungswert + Funktion Hier wurde schon geholfen: https://www.mathelounge.de/978354/bestim...gewinneinsatzes
04.12.2022, 12:18	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelspiel mit gegebenem Erwartungswert + Funktion @ Eistee88: Äußere Dich bitte rasch, ob Du Martin_98 bist und wie Du weitermachen willst. Einstweilen halte ich die Aufgabe aber für interessant genug, sie noch nicht gleich zu schließen.
04.12.2022, 13:20	Eistee88	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorweg erstmal, ich bin nicht Martin. Die Lösung, die dort von der_mathecoach gegeben wurde, macht für mich Sinn. Würdet ihr da zustimmen? Martin ist wahrscheinlich ein Kommilitone von mir😁
04.12.2022, 18:50	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfelspiel mit gegebenem Erwartungswert + Funktion a) Die Wahrscheinlichkeiten stimmen. Im anderen Forum wurde auch schon der Auszahlbetrag A genannt. Aus Sicht des Casinos ist die Bilanz + 1, wenn der Spieler verliert, 1 - A, wenn der Spieler gewinnt. Das Ergebnis für A müßtest Du ggf. noch rechnerisch bestätigen. b) Hier geht es um eine negativ binomialverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X_{n} \end{eqnarray}$ . Es sollen zunächst $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Sechsen in $\begin{eqnarray} k-1 \end{eqnarray}$ Würfen auftreten und dann im $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -ten Wurf die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Sechs. Du mußt also die Formel aufstellen für $\begin{eqnarray} P(X_{n}=k)=P(Y=n-1)\cdot \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} (k-1;1/6) \end{eqnarray}$ -binomialverteilte Zufallsvariable ist. Wenn Du die Formel hast, kannst Du den Erwartungswert herleiten. Da ich heute nicht mehr viel Zeit habe, gebe ich Dir vor, dass Du $\begin{eqnarray} E(X_{n})=\sum\limits_{k=n}^{\infty } k \binom{k-1}{n-1}\left(\frac{1}{6} \right)^{n}\left(\frac{5}{6} \right)^{k-n} \end{eqnarray}$ bestmöglich vereinfachen mußt, und das schrumpft erheblich zusammen. Ich habe es gerade durchgerechnet, aber um den Hinweis aus der Aufgabe zu nutzen, war schon etwas Trickserei nötig. An der Stelle können dann gern auch andere Helfer einspringen.
06.12.2022, 08:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Hinweis basiert übrigens auf der Binomialreihe $\begin{eqnarray} (1+x)^{\beta} = \sum_{a=0}^{\infty} \binom{\beta}{a} x^a \end{eqnarray}$ : Für $\begin{eqnarray} x=-z \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \beta = -b-1 \end{eqnarray}$ ergibt sich da wegen $\begin{eqnarray} \binom{-b-1}{a} = \frac{(-b-1)(-b-2)\cdot \ldots \cdot (-b-a)}{a!} = (-1)^a\cdot \frac{(b+a)(b+a-1)\cdot \ldots \cdot (b+1)}{a!} = (-1)^a\cdot \binom{a+b}{a} \end{eqnarray}$ direkt die angegebene Gleichung $\begin{eqnarray} (1-z)^{-b-1} = \sum_{a=0}^{\infty} (-1)^a \binom{a+b}{a} (-z)^a = \sum_{a=0}^{\infty} \binom{a+b}{a} z^a \end{eqnarray}$ .
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