Sichtweite und Höhe bei Erdkugel

04.12.2022, 19:31	pmuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Sichtweite und Höhe bei Erdkugel Der Erdradius beträgt r= 6370km, Wie hoch muss ein Flugzeug fliegen, damit es 100km weit sieht. Meine Lösung: Rechtwinkliges Dreieck erzeugen. Hypotenuse ist r+x , Katheten: r und 100km ==> (r+x)² = r²+100² Dies muss ich auflösen und dann mit der pq-Formel ausrechnen ==> 785m Soweit alles richtig. Meine Frage ist, ob ich dies auch lösen kann ohne Kenntnis über die pq-Formel??
05.12.2022, 01:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Praxis wird für solche Aufgaben eine Näherungsformel verwendet. Sie folgt aus dem Sekanten-Tangentensatz, welcher im Prinzip ebenso gut durch dein rechtwinkeliges Dreieck ersetzt werden kann: h ... Höhe t ... tangentiale Sichtweite r ... Radius $\begin{eqnarray} r^2 + t^2 = (r + h)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t^2 = h^2 + 2rh \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} h^2 \end{eqnarray}$ im Vergleich zu 2rh sehr klein und kann weggelassen werden. Es folgt: $\begin{eqnarray} t^2 = 2rh \end{eqnarray}$ ... eine gängige Formel für die Bestimmung der terrestrischen Sichtweite im Gelände. $\begin{eqnarray} h = \frac {t^2}{2r} \end{eqnarray}$ Wie man sieht, bekommt man auch hier für deine Angaben eine fast gleiche Näherungslösung: $\begin{eqnarray} h = \frac {10000}{12740} = rd. 0,7849 km = rd. 785 m \end{eqnarray}$ mY+
05.12.2022, 09:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@pmuss Warum eigentlich pq-Formel? Wenn du Gleichung $\begin{eqnarray} r^2+t^2 = (r+h)^2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ auflösen willst, ist es unnötig umständlich, das Quadrat rechts auszumultiplizieren. Nein, direkt Wurzel ziehen und das Ergebnis $\begin{eqnarray} h = \sqrt{r^2+t^2}-r \end{eqnarray}$ steht praktisch da. Bei sehr kleinem $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist diese Formel allerdings numerisch ungünstig wegen Auslöschung, das kann man beheben durch die per Dritter Binomischer Formel äquivalent umgeformte Formel $\begin{eqnarray} h = \frac{t^2}{\sqrt{r^2+t^2}+r} \end{eqnarray}$ , was für $\begin{eqnarray} t\to 0 \end{eqnarray}$ approximativ dem $\begin{eqnarray} \frac{t^2}{2r} \end{eqnarray}$ von mYthos entspricht.
05.12.2022, 14:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier noch etwas sehr Interessantes dazu! mY+

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