Verteilungsfunktion zu Wahrscheinlichkeitsfunktion

07.12.2022, 13:37

M7410

Verteilungsfunktion zu Wahrscheinlichkeitsfunktion

Meine Frage:
Hallo,
könnte mir jemand erklären, wir man von der Verteilungsfunktion auf die Wahrscheinlichkeitsfunktion kommt (siehe Bild)?

Meine Ideen:
Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsfunktionen hängen miteinander zusammen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die kumulierte Version der Verteilungsfunktion, also muss die Wahrscheinlichkeitsfunktion auf 1 beschränkt sein (, da Wahrscheinlichkeit = 100%).

Wenn ich die Werte (siehe Bild) aufaddiere kommt ich aber über den Wert 1.

Meine Frage also: Welche Werte muss ich wie addieren?

Vielen vielen Dank im Voraus!

07.12.2022, 13:58

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von M7410
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die kumulierte Version der Verteilungsfunktion

Nein, umgekehrt wird ein Schuh draus: Die Verteilungsfunktion ist die kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Speziell bei diskreten Zufallsgrößen springt die Verteilungsfunktion an den Stellen, die die Zufallsgröße annehmen kann, um genau den Wahrscheinlichkeitsfunktionswert nach oben. Dann bleibt sie konstant bis zur nächsten solchen Stelle. D.h., es ist

$\begin{eqnarray*} P(X=x) = P(X\leq x) - P(X< x) = F_X(x) - F_X(x-0)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

dabei ist $\begin{eqnarray*} F_X(x-0) \end{eqnarray*}$ die Kurzform für den linksseitigen Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{t\nearrow x} F_X(t) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Im vorliegenden Fall heißt das beispielsweise

$\begin{eqnarray*} P(X=0) = F_X(0) - F_X(0-0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

usw. Neben (*) gilt generell auch für alle Zufallsgrößen (wichtig für b):

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x) = F_X(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X< x) = F_X(x-0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X> x) = 1-F_X(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X\geq x) = 1-F_X(x-0) \end{eqnarray*}$

07.12.2022, 15:06

M7410

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn nur zwei Werte bestehen
Schon mal vielen Dank für die Antwort, das hat mir schon sehr geholfen!

Wie sehe das dann bei so einer Verteilungsfunktion aus?

Wie sehe das im beigefügten Bild aus?

Hier sollte man die Funktion in einem Intervall [-0.5 bis 5.5] betrachten.

Hier kann ich - zumindest nehme ich das so wahr - nicht so vorgehen wie bei der letzten Funktion und Werte voneinander abziehen, um so gesehen "rückwärts zu gehen".

Berechne ich dann die Werte für das Intervall und gehe dann normal vor, wie auch bei der letzten Funktion oder wie würde ich hier eine Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen?

07.12.2022, 15:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, kann man ganz genauso tun. Man muss natürlich verstehen, was die Gaußklammerfunktion $\begin{eqnarray*} \lfloor x\rfloor \end{eqnarray*}$ ist:

Für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} n\leq x <n+1 \end{eqnarray*}$ lautet diese deine Verteilungsfunktion hier $\begin{eqnarray*} F(x) = 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Damit gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} P(X=n) = F(n)-F(n-0) = 1-\frac{1}{n} - \left(1-\frac{1}{n-1}\right) = \frac{1}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ .

07.12.2022, 15:19

M7410

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist es für

F(1) = 1-1/1 = 0

und für alle weiteren Werte im Intervall [2, 5.5]

F(n) = 1/n(n-1) und ich rechen die dann ganz normal aus, um dann im Nachhinein die Wahrscheinlichkeitsfunktion nach dem vorher erklärten Verfahren zu berechnen?

07.12.2022, 15:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau willst du bestimmen?

Zitat:

Original von M7410
Hier sollte man die Funktion in einem Intervall [-0.5 bis 5.5] betrachten.

Willst du am Ende die Gesamtwahrscheinlichkeit für dieses Intervall? Dann sag das doch.

07.12.2022, 15:49

M7410

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich will die Wahrscheinlichkeitsfunktion, um später die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, also z.B. P(X<3) oder die Quantile zu bestimmten.

07.12.2022, 16:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von M7410
Also ich will die Wahrscheinlichkeitsfunktion, um später die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, also z.B. P(X<3) oder die Quantile zu bestimmten.

Das passt nicht zusammen:

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt die Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} {\color{red}P(X=x)} \end{eqnarray*}$ an, während für Intervallwahrscheinlichkeiten wie $\begin{eqnarray*} P(X<3) \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion das besser geeignete Mittel ist, d.h. direkt $\begin{eqnarray*} P(X<3) = F_X(3-0) \end{eqnarray*}$ . Auch für die Quantilberechnung nimmt man mit der Verteilungsfunktion vor, betrachtet gewissermaßen deren Umkehrfunktion (stimmt nicht in jedem Fall, aber salopp gesprochen ist es so).

Im vorliegenden Fall ist beispielsweise $\begin{eqnarray*} P\left(X\in [-0.5,5.5]\right) = F_X(5.5) - F_X(-0.5-0) = 1-\frac{1}{5}-0 = \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ .

07.12.2022, 16:09

M7410

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigen Sie die umständliche Darstellung meiner Frage.

Hier nochmal die ganze Aufgabe, vielleicht ist das dann verständlicher:

Also kann ich die b) normal mit Ihrer Erklärung durchrechnen?

07.12.2022, 16:17

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wiederhole noch mal:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} P(X=x) = P(X\leq x) - P(X< x) = F_X(x) - F_X(x-0)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

[...]

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x) = F_X(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X< x) = F_X(x-0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X> x) = 1-F_X(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X\geq x) = 1-F_X(x-0) \end{eqnarray*}$

Gilt für ALLE Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (u.a. auch diskrete, stetige, aber auch andere) und alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Und alle anderen Intervallwahrscheinlichkeiten kann man ebenfalls aus irgendwelchen Differenzen dieser vier Formeln ermitteln, so z.B.

$\begin{eqnarray*} P(a < X< b) = P(X< b) - P(X\leq a) = F_X(b-0)-F_X(a) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ , usw.

Neue Frage »

Antworten »

Verteilungsfunktion zu Wahrscheinlichkeitsfunktion

Verwandte Themen