Differentialgleichung zweiter Ordnung

07.12.2022, 16:57	DAS OMEGA	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung zweiter Ordnung Meine Frage: .. . x +ax+bx+c=0 ( Also ich kriege die Punkte über den x nicht besser hin beim ersten x sind zwei Punkte drüber beim zweiten x ein Punkt) Welches qualitative Verhalten von x(t) beeinflussen a und b? Durch welche geschickte Substitution z(t) = x(t) + const lasst sich die Gleichung in eine Form ohne konstanten Term bringen? Was muss dabei für den Parameter b gelten? Wenn man die Gleichung dann fur z gelost hat, welche qualitative Rolle spielt der Parameter c dann in der Rucksubstitution? Meine Ideen: Also zur Substitution muss doch praktisch komplette x durch z ersetzen dammit man sage ich mal c weglassen kann oder ? und für die beschreibung was a,b,c qualitativ ändern naja wäre jetzt x(t) eine quadratische Funktion oder so weiß man das schonn ja oder eine e Fkt aber vielleicht kann man das ja genereller ausrücken. Die Aufgabe gehört zum Themenfeld Harmonischer Oszilattor
07.12.2022, 19:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In $\begin{align} z=x+p \end{align}$ ist die Konstante $\begin{align} p \end{align}$ noch so zu bestimmen, daß bei der Substitution die Differentialgleichung $\begin{align} \ddot{x} + a \dot{x} + bx + c = 0 \end{align}$ in $\begin{align} \ddot{z} + a \dot{z} + bz = 0 \end{align}$ übergeht. Für welches $\begin{align} p \end{align}$ in Abhängigkeit von $\begin{align} b \end{align}$ und $\begin{align} c \end{align}$ ist das der Fall? Welches $\begin{align} b \end{align}$ macht Probleme? Beachte, da $\begin{align} p \end{align}$ konstant ist: $\begin{align} x = z - p \, , \ \ \dot{x} = \dot{z} \, , \ \ \ddot{x}= \ddot{z} \end{align}$ und setze das in die Differentialgleichung ein.
07.12.2022, 20:44	DAS OMEGA	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn b=0 fällt dann doch der Hintere Term weg und für b größer 1 vergrößert sich dementsprechend das p?! Wenn man x+p=z substituiert ist ja ja bei der resubstitution ein Ausdruck in Klammern meinst du das?
07.12.2022, 21:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Gib das $\begin{align} p \end{align}$ an, für die die $\begin{align} x \end{align}$ -Differentialgleichung in die $\begin{align} z \end{align}$ -Differentialgleichung ohne konstantes Glied übergeht. Drück die nicht um diese kleine Rechnung. Sie offenbart auch, warum tatsächlich $\begin{align} b=0 \end{align}$ gesondert behandelt werden muß.
09.12.2022, 21:35	DAS OMEGA	Auf diesen Beitrag antworten »
Warte was? Also erstmal entschuldigung ,dass ich jetzt erst antworte ich habe dann .. . z-p+a(z-p)+b(z-p+c)=0 dann hat man (bz-bp+bc)=0 und dann muss p=c bei b ungleich 0 sein Ist das die Rechnung? Viele Grüße
09.12.2022, 21:48	DAS OMEGA	Auf diesen Beitrag antworten »
FolgeFrage Dazu kam ja noch die Frage was a,b,c qualitativ ändern in dieser Aufgabe des harmonischen Oszillators
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09.12.2022, 23:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deine Rechnung nicht. Da $\begin{align} p \end{align}$ eine noch zu bestimmende Konstante ist, fällt $\begin{align} p \end{align}$ beim Differenzieren nach $\begin{align} t \end{align}$ weg. Das hatte ich doch schon geschrieben: $\begin{align} x = z - p \, , \ \ \dot{x} = \dot{z} \, , \ \ \ddot{x}= \ddot{z} \end{align}$ Und setzt man das in $\begin{align} \ddot{x} + a \dot{x} + bx + c = 0 \end{align}$ ein, erhält man: $\begin{align} \ddot{z} + a \, \dot{z} + b \left( z-p \right) + c = 0 \end{align}$ $\begin{align} \ddot{z} + a \, \dot{z} + bz - bp + c = 0 \end{align}$ Will man also, daß die $\begin{align} z \end{align}$ -Differentialgleichung kein konstantes Glied mehr besitzt, muß man $\begin{align} c - bp = 0 \end{align}$ , also $\begin{align} p = \frac{c}{b} \end{align}$ fordern. Ein solches $\begin{align} p \end{align}$ existiert daher immer, wenn $\begin{align} b \neq 0 \end{align}$ ist. Der Fall $\begin{align} b=0 \end{align}$ ist daher ganz zu Anfang getrennt zu betrachten.
10.12.2022, 15:33	DAS OMEGA	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke Hallo Leopold, ok mein Fehler war wohl zu denken ,dass das c in einer Klammer steht. Ich bedanke mich nochmals für die Aufklärung Viele Grüße

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