Welche Verteilung ist gesucht?

08.12.2022, 12:02	M7410	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Verteilung ist gesucht? Meine Frage: Hi, ich wollte mich vergewissern, welche Verteilung hier gesucht wird und wie man die Wahrscheinlichkeitsfunktion bestimmt. Meine Ideen: Als Tipp wird der binomische Lehrsatz gennant, sodass ich dachte, es gebe Ähnlichkeiten zur Binomialverteilung. Für die generelle Berechnung dachte ich, dass man im Grunde anhand des Lehrsatzes die zwei Poission?Verteilungen aufaddiert. Wie kriege ich daraus jetzt aber eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, falls mein Ansatz korrekt ist.
08.12.2022, 12:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergiss mal ganz schnell, was du rechts unten hingeschrieben hast: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summenzufallsgröße $\begin{eqnarray} X_1+X_2 \end{eqnarray}$ ergibt sich NICHT als Summe der beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen von $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ : Wie sollte das auch gehen, da käme am Ende Gesamtwahrscheinlichkeit 1+1=2 heraus... Nein, es geht durch Aufsplittung der Fälle: Beide Zufallsgrößen nehmen nur natürliche Werte (inklusive 0) an, damit kann die Summe $\begin{eqnarray} X_1+X_2=n \end{eqnarray}$ durch die $\begin{eqnarray} (n+1) \end{eqnarray}$ möglichen Fälle $\begin{eqnarray} X_1=0,X_2=n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_1=1,X_2=n-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_1=2,X_2=n-2 \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} X_1=n-1,X_2=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_1=n,X_2=0 \end{eqnarray}$ entstehen. Demnach ist $\begin{eqnarray} P\left(X_1+X_2=n\right) = \sum_{k=0}^n P\left(X_1=k,X_2=n-k\right) \stackrel{U}{=} \sum_{k=0}^n P\left(X_1=k\right)\cdot P\left(X_2=n-k\right) = \sum_{k=0}^n e^{-\lambda_1}\frac{\lambda_1^k}{k!}\cdot e^{-\lambda_2}\frac{\lambda_2^{n-k}}{(n-k)!} \end{eqnarray}$ (nennt man auch "diskrete Faltung") und das sollst du nun vereinfachen. Damit du die Nützlichkeit des gegebenen Tipps erkennst, hier noch ein dazu begleitender zweiter Tipp: Aus der Definition des Binomialkoeffizienten folgt $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!\cdot (n-k)!} = \frac{1}{n!}\cdot \binom{n}{k} \end{eqnarray}$ . EDIT (15.12.): Und wieder ist ein Fragesteller abgetaucht.

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