Gewichtetes Maß

Neue Frage »

08.12.2022, 14:51	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewichtetes Maß Hallo Matheboard, folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen (siehe Anhang) Setz ich da einfach für das Maß g ein? Ganz so leicht ist es wohl nicht... Hättet ihr Tipps? Grüße, eure HiBee
08.12.2022, 14:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast letztens eine tolle Methode kennengelernt, etwas für alle messbaren f zu zeigen!
08.12.2022, 15:20	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Maßtheoretische Induktion! Also fang ich wieder mit einer Indikatorfunktion an. Also Sei $\begin{eqnarray} f=\chi_A \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \chi_A d \nu=\nu(A)=\int_{A}^{} g d \mu=\int_{}^{} \chi_A g d \mu \end{eqnarray}$ Schritt 1 ok?
08.12.2022, 20:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt. Und weiter geht's. (Bin heute und morgen nicht besonders reaktiv)
08.12.2022, 21:18	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Dann Schritt 2. Mit der Linearität der Integration folgt für Treppenfunktionen $\begin{eqnarray} f=\sum\limits_{k=1}^{m} c_i\chi_{A_i} \end{eqnarray}$ Dass das Integral $\begin{eqnarray} \int_{} f d \nu=\int_{} \sum\limits_{k=1}^{m} c_i\chi_{A_i}d \nu \end{eqnarray}$ per Definition. Jetzt die Linearität: $\begin{eqnarray} \int_{} \sum\limits_{k=1}^{m} c_i\chi_{A_i}d \nu =\sum\limits_{k=1}^{m} c_i \int_{} \chi_{A_i}d \nu \end{eqnarray}$ Jetzt nutzen wir Teil 1 $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{m} c_i \int_{} \chi_{A_i}d \nu = \sum\limits_{k=1}^{m} c_i \int_{} \chi_{A_i} g d \mu \end{eqnarray}$ und jetzt wieder die Lineartität $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{m} c_i \int_{} \chi_{A_i} g d \mu= \int_{} \sum\limits_{k=1}^{m} c_i \chi_{A_i} g d \mu = \int_{} f g d \mu \end{eqnarray}$ und dann müsste die Aussage für einfache Funktionen gezeigt sein.
08.12.2022, 21:43	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Schritt 3 für positive und messbare Funktionen verwende ich erstmal den gleichen Satz 4.6, wie gestern, nämlich das ich eine solche Funktion immer durch eine aufsteigende Folge von Treppenfunktionen abschätzen kann und dann verwende ich noch Satz 5.5 (siehe Anhang) $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! f \, d\nu=\lim_{n \to \infty} \int_{}^{} \! f_n \, d\nu \end{eqnarray}$ nach Satz 5.5 $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \int_{}^{} \! f_n \, d\nu = \lim_{n \to \infty} \int_{}^{} \! f_n \, g d\mu \end{eqnarray}$ gilt nach Schritt 2 und jetzt bin ich mir unsicher, ob Schritt 3 sofort folgt oder ob ich noch was übersehe...
Anzeige

08.12.2022, 22:30	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay und Schritt 4 dürfte dann wieder relativ easy sein... Also Wir teilen unsere Funktion in Positiv und Negativteil auf: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! f\, d\nu = \int_{}^{} \! f^{+}\, d\nu - \int_{}^{} \! f^{-}\, d\nu \end{eqnarray}$ Dann wenden wir Schritt 3 an: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! f^{+}\, d\nu - \int_{}^{} \! f^{-}\, d\nu = \int_{}^{} \! f^{+}\, g d\mu - \int_{}^{} \! f^{-}\, g d\mu \end{eqnarray}$ und das dürfte jetzt das gleiche sein wie: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! f^{+}\, g d\mu - \int_{}^{} \! f^{-}\, g d\mu= \int_{}^{} \! f\, g d\mu \end{eqnarray}$ (Natürlich nur wenn f integrierbar ist) So oder ähnlich müsste es funktionieren... freue mich über Rückmeldung
09.12.2022, 06:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Winziges Detail: Bei Schritt 3 ist "g größergleich 0" kritisch, damit du den Satz der monotonen Konvergenz benutzen kannst. Ansonsten perfekt, richtig schön gemacht
09.12.2022, 15:47	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so also bei Schritt 3 noch erwähnen, dass g größer gleich 0 ist und ansonsten passts? cool!
09.12.2022, 16:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kann sein, dass wir beide etwas übersehen haben. Von meiner Seite her grünes Licht. @all: Wer Kritik hat jetzt sprechen oder für immer schweigen

Neue Frage »

Antworten »

Gewichtetes Maß

Verwandte Themen