Nullstellenproblem zu Fixpunktproblem

08.12.2022, 20:14

Taschenrechner548

Nullstellenproblem zu Fixpunktproblem

Meine Frage:
Wie forme ich ein Nullstellenproblem zu einem Fixpunktproblem um?

Meine Ideen:
Ein Fixpunkt muss folgende Eigenschaft haben: x=g(x).
Was muss ich dann zB für x^6 - x -1 tun?
Wäre die umformung x = x^6 -1 korrekt? Wenn nicht, warum nicht?
Woher weiß ich dann, dass diese Umformung konvergiert und nicht divergiert? Mit dem Banachschen Fixpunktsatz?

08.12.2022, 20:38

mYthos

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RE: Nullstellenproblem zu Fixpunktproblem

Zitat:

Original von Taschenrechner548
...
Wäre die umformung x = x^6 -1 korrekt?
...

Nein!
Schreib- oder Rechenfehler?? Richtig wäre: $\begin{eqnarray*} x = x^6 - x - 1 \end{eqnarray*}$ , denn für den Fixpunkt gilt $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$

Du kannst die Gleichung zunächst graphisch näherungsweise betrachten. Sie hat 2 reelle Lösungen.
Dann mittels Newton lösen, dabei die Startwerte -0.5 bzw. 1.2 wählen. Das konvergiert sicher.

[attach]56489[/attach]

Hinweis: Die Startwerte (vor allem -0.5) sind noch nicht die genauen Werte ...

mY+

08.12.2022, 23:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Taschenrechner548
Wie forme ich ein Nullstellenproblem zu einem Fixpunktproblem um?

[...]

Was muss ich dann zB für x^6 - x -1 tun?

Ich könnte mir vorstellen, dass hiermit das Nullstellenproblem $\begin{eqnarray*} x^6-x-1=0 \end{eqnarray*}$ gemeint ist, und wie man das in eine Fixpunktgleichung umwandelt.

$\begin{eqnarray*} x = x^6-1 \end{eqnarray*}$ ist eine Möglichkeit dafür.

09.12.2022, 12:51

mYthos

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In diesem Fall:

[attach]56492[/attach]

mY+

10.12.2022, 09:58

Taschenrechner548

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vielen Dank!
Mir ist auch bewusst, dass es mehr als eine Umformung gibt smile

Aber ist jede dieser Umformungen mit dem Fixpunktverfahren lösbar? Wenn nicht, woher weiß ich, ob meine Umformung damit lösbar ist?

LG
Taschenrechner548

10.12.2022, 13:09

Elvis

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Es gibt Nullstellen von Funktionen und es gibt Fixpunkte von Funktionen. Den Zusammenhang zeigt mYthos' Grafik überdeutlich.
Ob eine Funktion Nullstellen oder Fixpunkte hat und wie man Nullstellen oder Fixpunkte einer Funktion berechnen kann, ist eine ganz andere Frage. Es gibt kein allgemeines Verfahren für diese Probleme.
Eine Umformung ist ein Vorgang, eine Umformung kann man eventuell durchführen, eine Umformung kann man nicht lösen. Die Reise zum Mond kann man eventuell durchführen, man kann sie nicht lösen.

10.12.2022, 13:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Taschenrechner548
Aber ist jede dieser Umformungen mit dem Fixpunktverfahren lösbar? Wenn nicht, woher weiß ich, ob meine Umformung damit lösbar ist?

Ob die zu einer Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} x=g(x) \end{eqnarray*}$ korrespondierende Iteration $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=g(x_n) \end{eqnarray*}$ geeignet ist, einen Fixpunkt $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ zu finden, dafür gibt es hinreichende Kriterien:

Gemäß Banachschen Fixpunktsatz genügt es, wenn es eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ sowie eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} k\in (0,1) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} g(U)\subseteq U \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |g(x)-g(y)|\leq k\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in U \end{eqnarray*}$ . Bei differenzierbaren $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist wiederum $\begin{eqnarray*} |g'(x)|\leq k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ hinreichend für die Gültigkeit letzterer Ungleichung.

Für $\begin{eqnarray*} g(x) = x^6-1 \end{eqnarray*}$ ist diese Bedingung für beide Fixpunkte $\begin{eqnarray*} \approx -0.8 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \approx 1.2 \end{eqnarray*}$ leider nicht erfüllt.

Anders sieht es aus für die beiden aus Umformumg $\begin{eqnarray*} x^6 = x+1 \end{eqnarray*}$ gewonnenen $\begin{eqnarray*} g_1(x) = \sqrt[6]{x+1} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} g_2(x) = -\sqrt[6]{x+1} \end{eqnarray*}$ ...

10.12.2022, 16:52

Taschenrechner548

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Vielen lieben Dank für deine Antwort!

Mir ist es jetzt auf jeden Fall schon klarer geworden, aber bräuchte ich dann quasi für je eine NST dann eine der beiden Funktionen die durch Umformungen hervorkommen? Also quasi die erste für die eine NST und die zweite für die zweite?

10.08.2023, 16:04

RomanGa

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Deine ursprüngliche Aufgabe: x^6 – x – 1 = 0

Skizze dazu:

[attach]57235[/attach]

Umformen zu x^6 = x + 1 und weiter zu x = + - wurzel(x+1)

Skizze dazu:

[attach]57236[/attach]

Ist damit deine Frage beantwortet? Und falls ja: Mit „ja“ oder „nein“?

11.08.2023, 15:33

HAL 9000

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Ich fürchte, dass Taschenrechner548 deine Anstrengungen nicht zu würdigen weiß, da sie/er seit über drei Monaten nicht mehr ins Board geschaut hat.

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