Folgerung aus Tschebyscheff

09.12.2022, 17:02

HiBee123

Folgerung aus Tschebyscheff

Hallo Matheboard smile

der angehängte Satz war zu beweisen, ich hab ein bisschen recherschiert und ihn unter dem Namen "Ungleichung von Tschebbyscheff" gefunden, dass heißt für Teil a) habe ich jetzt eine Erklärung, aber warum dann folgt, dass Teil b) mit der monotonen Funktion h gelten muss, ist mir noch ein Rätsel. Was übersehe ich? Hättet ihr einen Tipp?

Gruß,
eure HiBee smile

09.12.2022, 17:15

IfindU

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$\begin{eqnarray*} f(x) \geq c \iff (h \circ f)(x) \geq h(c) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in S \end{eqnarray*}$ . Hilft das? smile

Edit: Da war ich zu voreilig. Das gilt für streng-monotone $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Es gilt aber wenigstens noch $\begin{eqnarray*} f(x) \geq c \Rightarrow (h \circ f)(x) \geq h(c) \end{eqnarray*}$ und das reicht für den Beweis smile

09.12.2022, 18:04

HiBee123

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Ich bin Toastbrot! Das ist doch einfach das Monotoniekriterium. Also mal probieren:

Also wir stellen am besten Tschebbyscheff erstmal um. $\begin{eqnarray*} c \cdot \mu \{|f|\geq c \} \leq \int_{} |f| \, d\mu \end{eqnarray*}$ Jetzt benutzen wir die Monotonie
$\begin{eqnarray*} h (c \cdot \mu \{|f|\geq c \} )\leq h( \int_{} |f| \, d\mu) \end{eqnarray*}$ ... Ein Brot bleibt ein Brot.... jetzt sollte es mir ins Gesicht springen, aber ich seh es einfach nicht.

Wie bilde ich h von einem Integral?

09.12.2022, 19:15

IfindU

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Ich dachte mehr an
$\begin{eqnarray*} \{ |f| \geq c \} \subset \{ h \circ |f| \geq h(c) \} \end{eqnarray*}$ .

09.12.2022, 19:37

HiBee123

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Ich ahne etwas.... wir nutzen die Monotonie von mü, oder?
Mit dieser Teilmengeninklusion gilt $\begin{eqnarray*} \mu \{|f| \geq c \} \leq \mu \{ h(|f|) \geq h(c) \} \end{eqnarray*}$ aber wo soll das hinführen? Wie bekomm ich dieses verflixxte h(c) aus meiner Klammer in meine Gleichung?

09.12.2022, 19:45

IfindU

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Sehr gut. An der Stelle ist es ja 1:1 die Tschebbyscheff Ungleichung!

$\begin{eqnarray*} h(|f|) \geq h(c) \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray*} |\widetilde f| \geq \widetilde c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \widetilde f = h \circ |f| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \widetilde c = h(c) \end{eqnarray*}$ .

09.12.2022, 20:15

HiBee123

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Moment, jetzt bin ich verwirrt. Wenn es 1:1 Tschebbyscheff ist, wozu brauch ich dann diese Monotonie überhaupt? Was hindert mich daran, einfach f'=h(|f|) und c'=h(c) zu wählen und dann straight $\begin{eqnarray*} h(c) \cdot \mu\{h(|f|) \geq h(c)\} \leq \int h(|f|) d \mu \end{eqnarray*}$ hinzuschreiben?

09.12.2022, 20:18

IfindU

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Zitat:

Original von HiBee123 Was hindert mich daran, einfach f'=h(|f|) und c'=h(c) zu wählen und dann straight $\begin{eqnarray*} h(c) \cdot \mu\{h(|f|) \geq h(c)\} \leq \int h(|f|) d \mu \end{eqnarray*}$ hinzuschreiben?

Das ist das schöne: Gar nichts! Du wolltest aber nicht zeigen
$\begin{eqnarray*} \mu\{h(|f|) \geq h(c)\} \leq \frac 1 {h(c)} \int h(|f|) d \mu \end{eqnarray*}$ ,
sondern
$\begin{eqnarray*} \mu\{|f| \geq c\} \leq \frac 1 {h(c)} \int h(|f|) d \mu \end{eqnarray*}$ .

Und hier kommt genau die Bemerkung zu tragen:

Zitat:

Original von HiBee123
Mit dieser Teilmengeninklusion gilt $\begin{eqnarray*} \mu \{|f| \geq c \} \leq \mu \{ h(|f|) \geq h(c) \} \end{eqnarray*}$ aber wo soll das hinführen?

Soll genau dazu führen smile

09.12.2022, 20:33

HiBee123

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Sag ich ja, ein Toastbrot!

Lieben Dank smile

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