Differenzieren parameterabhängiger Integrale

10.12.2022, 13:06	photon007	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzieren parameterabhängiger Integrale Hallo zusammen, ich verzweifle gerade ziemlich an der Aufgabe, $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abzuleiten, wobei $\begin{eqnarray} f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2} \,dt \end{eqnarray}$ . Meine Idee wäre gewesen, das mit der Indikatorfunktion umzuschreiben, sodass dasteht $\begin{eqnarray} \int_{0}^{x} e^{-t^2} \,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t^2}1_{[0,x]} \,dt \end{eqnarray}$ , wobei ich den Satz über das Differenzieren parameterabhängiger Integrale verweden will. Wie leite ich denn $\begin{eqnarray} f(x,t) := e^{-t^2}1_{[0,x]} \end{eqnarray}$ nach x ab? Die Abbildung ist doch 0 oder konstant (in x), also müsste die Ableitung doch 0 sein. Es müsste (andere Aufgabenteile implizieren das), herauskommen $\begin{eqnarray} f'(x) = e^{-x^2} \end{eqnarray}$ , wie kann ich das zeigen? Vielen Dank für Eure Hilfe!
10.12.2022, 13:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Fundamentalsatz der Analysis ist $\begin{eqnarray} f(x) = G(x)-G(0) \end{eqnarray}$ für jede Stammfunktion $\begin{eqnarray} G(t) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} e^{-t^2} \end{eqnarray}$ . Daher ist $\begin{eqnarray} f'(x) = G'(x) = e^{-x^2} \end{eqnarray}$ . Allgemein bekommt man mit dieser Methode für $\begin{eqnarray} f(x) = \int\limits_{a(x)}^{b(x)} g(t) ~ \dd t \end{eqnarray}$ mit stetigem $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ die Ableitung $\begin{eqnarray} f'(x) = g(b(x))\cdot b'(x) - g(a(x))\cdot a'(x) \end{eqnarray}$ .

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