Stetige Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsdichte

10.12.2022, 15:09

Malou2016

Stetige Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsdichte

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ ist Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray*} X,Y:\Omega\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte
$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y)=c\cdot xy\cdot\mathbb{1}\{0\leq x\leq y\leq2\} \end{eqnarray*}$ .

(a) Bestimme $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} f_{x,y} \end{eqnarray*}$ tatsächlich Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

(b) Berechne Randdichten $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

(c) Berechne $\begin{eqnarray*} P(X+Y\leq1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(2X\leq Y) \end{eqnarray*}$ .

(d) Bestimme $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
(a) Hier würde ich $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty } \int_{-\infty }^{\infty } \! f_{x,y}(t,u) \, dt du \end{eqnarray*}$ verwenden und erhalte $\begin{eqnarray*} c=\frac{4}{x^2y^2} \end{eqnarray*}$
Passt das?

(b) Bei den Randdichten habe ich leider überhaupt keine Ahnung.

(c) Und hier fehlt mir auch der Ansatz

(d) Müsste mit der gegebenen Formel, wenn ich den Rest kenne einfach gehen.

10.12.2022, 15:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malou2016
und erhalte $\begin{eqnarray*} c=\frac{4}{x^2y^2} \end{eqnarray*}$
Passt das?

Passt nicht: $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ muss eine reelle Konstante sein, und darf damit nicht von x,y abhängen. unglücklich

Sieht irgendwie danach aus als verwechselst du unbestimmte und bestimmte Integrale.

Zitat:

Original von Malou2016
mit gemeinsamer Dichte $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y)=c\cdot xy\cdot\mathbb{1}\{0\leq x\leq y\leq2\} \end{eqnarray*}$ .

Genau genommen fehlt hier der Zusatz

Zitat:

und $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ sonst (d.h. für alle anderen x,y).

11.12.2022, 02:52

Malou2016

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Zitat:

Passt nicht: $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ muss eine reelle Konstante sein, und darf damit nicht von x,y abhängen. unglücklich

Aber passt denn das doppelte Integral?
Und mir ist nicht ganz bewusst, wie ich da ein Ergebnis ohne x und y erhaltem soll.

11.12.2022, 02:55

Malou2016

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Zitat:

Original von Malou2016
mit gemeinsamer Dichte $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y)=c\cdot xy\cdot\mathbb{1}\{0\leq x\leq y\leq2\} \end{eqnarray*}$ .

Genau genommen fehlt hier der Zusatz

Zitat:

und $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ sonst (d.h. für alle anderen x,y).

Ist laut Aufgabenstellung nicht gegeben. Aber ich nehme mal an, dass Südasien wohl schon gelten soll.

11.12.2022, 09:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malou2016
dass Südasien wohl schon gelten soll.

Wenn das ein Witz sein soll, verstehe ich ihn nicht.

Zitat:

Original von Malou2016
Und mir ist nicht ganz bewusst, wie ich da ein Ergebnis ohne x und y erhaltem soll.

Denk doch einfach mal drüber nach, was ich hinsichtlich bestimmter/unbestimmter Integrale angemerkt habe.

11.12.2022, 12:08

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Malou2016
mit gemeinsamer Dichte $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y)=c\cdot xy\cdot\mathbb{1}\{0\leq x\leq y\leq2\} \end{eqnarray*}$ .

Genau genommen fehlt hier der Zusatz

Zitat:

und $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ sonst (d.h. für alle anderen x,y).

@HAL Ich vermute $\begin{eqnarray*} \mathbb{1}\{0\leq x\leq y\leq2\} \end{eqnarray*}$ meint die Indikatorfunktion auf $\begin{eqnarray*} \{0\leq x\leq y\leq2\} \end{eqnarray*}$ und nicht die Einschränkung der Funktionsdefinition auf den Bereich. Damit wäre die Funktion für alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ definiert und der Zusatz würde automatisch folgen.

Zu "Südasien" tippe ich auf "autocorrect"-ähnliche Funktionalität des Smartphones, als Malou um 3 Uhr nachts im Bett lag Big Laugh

11.12.2022, 13:33

HAL 9000

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Ja, war wohl eine momentane Sehschwäche von mir: Statt des Indikatorfunktionssymbol hatte ich da irgendwie gedanklich $\begin{eqnarray*} \forall 0\leq x\leq y\leq 2 \end{eqnarray*}$ da gesehen. Hammer

Zitat:

Original von IfindU
Zu "Südasien" tippe ich auf "autocorrect"-ähnliche Funktionalität des Smartphones

Interessante Theorie. Big Laugh

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Ja nun, ich weiß nicht wo es hängt, komplettieren wir mal zunächst (a): Die Forderung "Gesamtwahrscheinlichkeit = 1" führt zu

$\begin{eqnarray*} 1 = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_0^2 \int\limits_0^y cxy ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_0^2 \left[ \frac{c}{2} x^2y\right]_{x=0}^y ~ \dd y = \int\limits_0^2 \frac{c}{2} y^3 ~ \dd y = \left[ \frac{c}{8} y^4\right]_{y=0}^2 = 2c \end{eqnarray*}$ ,

daher ist $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

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