Lineare Unabhängigkeit prüfen

11.12.2022, 03:54

Evelyn2003

Lineare Unabhängigkeit prüfen

$\begin{eqnarray*} K=\mathbb Q, V=\mathbb R^1 \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} v_1=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig?

Meine Aufgabenstellung lautet die zwei Vektoren auf lineare unabhängigkeit zu prüfen. Normalerweise werden bei $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ Vektoren in $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ mit mindestens $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ eine Linearkombination gemacht und die Gleichung auf Null gesetzt. Bei der obigen Aufgabe sind wir aber im $\begin{eqnarray*} R^1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ setze dann folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1*v_1+\lambda_2*v_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1*\sqrt{2} +\lambda_2*\sqrt{3} = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich ja nur eine einzige Gleichung stehen. Wie kann ich jetzt somit $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ jeweils bestimmen?

11.12.2022, 09:53

mYthos

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Für die lineare Abhängigkeit muss es außer der trivialen Relation eben noch eine nichttriviale geben, d.h. mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ wäre ungleich Null.
OBdA kann daher z.B. $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 1 \end{eqnarray*}$ gesetzt und nach $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ aufgelöst werden ...

Überdies ist bei der linearen Abhängigkeit ein Vektor ein Vielfaches eines anderen dieses Raumes.
Und dies sieht man hier eigentlich schon auf den ersten Blick.

EDIT: Oha, die Lambdas sollen alle aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sein (?)
In diesem Fall ist das Verhältnis NICHT rational und es gibt keine LA

mY+

11.12.2022, 09:58

HAL 9000

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@Evelyn2003

Schon mal einen Irrationalitätsbeweis von Quadratwurzeln gesehen? Ein solcher ist hier quasi gefragt, und zwar für die Zahl $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ .

11.12.2022, 10:03

Leopold

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$\begin{align*} \lambda_1 \sqrt{2} + \lambda_2 \sqrt{3} = 0 \end{align*}$ ist äquivalent zu

$\begin{align*} \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \end{align*}$

Wenn man nun $\begin{align*} \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{Q} \end{align*}$ voraussetzt, dann ist auch die linke Seite der letzten Gleichung $\begin{align*} \in \mathbb{Q} \end{align*}$ , denn $\begin{align*} \mathbb{Q} \end{align*}$ ist ein Körper. Letztlich läuft es also auf die Frage hinaus, ob $\begin{align*} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \end{align*}$ eine rationale oder irrationale Zahl ist.

EDIT
$\begin{align*} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{6}}{2} \end{align*}$

Das zeigt den Zusammenhang zum Vorschlag von HAL.

11.12.2022, 10:53

mYthos

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Diesen Vorgang nennt man Rationalmachen des Nenners.

Zitat:

Original von mYthos
...
In diesem Fall ist das Verhältnis NICHT rational und es gibt keine LA
...

.. und dass $\begin{eqnarray*} \sqrt6 \end{eqnarray*}$ irrational ist, muss man doch nicht extra beweisen, oder?

11.12.2022, 19:32

Evelyn2003

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Ich danke euch für die vielen Antworten! Den Irrationalitätsbeweis zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ habe ich schon mal gesehen. Und analog sollte das ja auch für $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ gehen.
Wenn ich jedoch gezeigt habe das die $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ eine irrationale Zahl ist, und folglich $\begin{eqnarray*} \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ eine irrationale Zahl ist. Weiß ich ja lediglich nur das der Quotient - also $\begin{eqnarray*} \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ keine rationale Zahl ist. Aber ich weiß ja dann nach wie vor nicht ob $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ jeweils eine rationale oder irrationale Zahl ist.

Wie kann ich sie bestimmen?

Zitat:

Original von mYthos
EDIT: Oha, die Lambdas sollen alle aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sein (?)
In diesem Fall ist das Verhältnis NICHT rational und es gibt keine LA

mY+

Aus welchem Grund gibt es keine lineare Abhängigkeit bitte?

11.12.2022, 19:55

HAL 9000

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Anscheinend geht die Logik deiner Gedanken seltsame, unnötige Wege.

Zitat:

Original von Evelyn2003
Aber ich weiß ja dann nach wie vor nicht ob $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ jeweils eine rationale oder irrationale Zahl ist.

Wichtig ist doch nur, dass nicht beide zugleich rational sein können! Zumindest nicht im Fall $\begin{eqnarray*} \lambda_2\neq 0 \end{eqnarray*}$ , über den wir hier ja nur reden, seit oben die Quotientenbildung erfolgte.

11.12.2022, 23:45

Evelyn2003

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Weil also die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ im Nenner eine rationale Zahl ist, können wir also davon ausgehen das $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ eine rationale Zahl ist?

$\begin{align*} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{6}}{2} \end{align*}$

Oder gehen wir davon aus das beide nicht zugleich rational sein können, weil es (glaube ich) einen Satz gibt der besagt das wenn man eine rationale Zahl mit einer irrationalen Zahl multipliziert das Produkt ebenso irrational ist?

12.12.2022, 09:20

HAL 9000

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Also gut, nochmal von vorn, ohne dieses ewige Rumgeeiere, wie du es die letzten Postings praktiziert hast:

Wir wollen nachweisen, dass die reellen Zahl $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, wenn man sie als Vektoren über dem Körper der rationalen Zahlen betrachtet. Dazu weist man nach, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda_1\sqrt{2} +\lambda_2\sqrt{3} = 0 \end{eqnarray*}$ nur die rationale Lösung $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$ haben kann.

Angenommen, es gibt noch eine andere rationale Lösung, für die muss dann $\begin{eqnarray*} \lambda_2\neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten, und wir erhalten durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} = -\frac{2\lambda_1}{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ .

Rechts steht nun gemäß unserer Annahme eine rationale Zahl, während wir links eine irrationale Zahl haben - Widerspruch zur Annahme. Demnach gibt es keine rationale Lösung außer $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$ , somit sind $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

12.12.2022, 16:46

mYthos

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Zitat:

Original von HAL 9000
Also gut, nochmal von vorn, ohne dieses ewige Rumgeeiere, ...

Sei ein wenig nachsichtig, manchmal verheddert man sich hoffnungslos.
Wir helfen dann immer (mit Geduld auch du), den Weg aus dem Dickicht herauszufinden Augenzwinkern

mY+

12.12.2022, 17:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Sei ein wenig nachsichtig

Wenn ich das nicht gewesen wäre, hätte ich den Lösungsweg nicht dargestellt.

12.12.2022, 22:10

Evelyn2003

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Zitat:

Original von HAL 9000

Angenommen, es gibt noch eine andere rationale Lösung, für die muss dann $\begin{eqnarray*} \lambda_2\neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten, und wir erhalten durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} = -\frac{2\lambda_1}{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ .

Entschuldige. Ich begreife jedoch nicht woher die $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ kommt, geschweige denn die $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} = -\frac{2\lambda_1}{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ verwirrt

12.12.2022, 22:33

Evelyn2003

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Zitat:

Original von Evelyn2003

Zitat:

Hat sich doch erledigt. smile

. Danke!

Wie würde ich, unter der Annahme ein dritter Vektor $\begin{eqnarray*} v_3 = \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ käme hinzu, bitte vorgehen? Also:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1\sqrt{2} +\lambda_2\sqrt{3}+\lambda_3\sqrt{8} = 0 \end{eqnarray*}$

12.12.2022, 22:37

Leopold

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$\begin{align*} \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \end{align*}$ (teilweises Wurzelziehen)

12.12.2022, 22:52

Evelyn2003

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Wie kann ich denn $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ wie im vorhergehenden Beitrag auf eine Seite bringen. Und die Vektoren auf die andere?

Reicht es völlig aus nachdem man durch teilweises Wurzelziehen sieht das es sich um eine irrationale Zahl handelt, zu sagen das ebenfalls zu $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ keine rationale Lösung gibt und $\begin{eqnarray*} V_3 \end{eqnarray*}$ ebenso linear unabhängig ist?

12.12.2022, 22:57

Leopold

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Zitat:

Original von Evelyn2003
$\begin{eqnarray*} \lambda_1\sqrt{2} +\lambda_2\sqrt{3}+\lambda_3\sqrt{8} = 0 \end{eqnarray*}$

Du kannst konkret rationale Zahlen (sogar ganze) $\begin{align*} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \end{align*}$ angeben, so daß nicht alle drei Skalare gleichzeitig 0 sind. Beachte den Hinweis aus meinem vorigen Beitrag.

12.12.2022, 23:19

Evelyn2003

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Leider begreife ich es nicht unglücklich

Als wir noch nur ausschließlich zwei Vektoren hatten, konnten wir durch Äquialenzumformung zeigen, das es sich bei einem Skalar um eine irrationale Zahl gehandelt hat. Nun kommt ein zusätzlicher Vektor mit einer irrationalen Zahl hinzu. Und daraus kann man schlussfolgern das nun sogar alle drei Skalara rationale Zahlen sind?

13.12.2022, 00:31

mYthos

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Zitat:

Original von Evelyn2003
...
$\begin{eqnarray*} \lambda_1\sqrt{2} +\lambda_2\sqrt{3}+\lambda_3\sqrt{8} = 0 \end{eqnarray*}$

Der springende Punkt ist der, dass der 3. Vektor $\begin{eqnarray*} \sqrt 8 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2 \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ das 2-fache des 1. Vektors $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ist.
Also besteht zwischen dem ersten und dritten Vektor ein rationales Verhältnis.
Dabei kann der Skalar beim 2. Vektor jetzt ohne Weiteres (rational) Null sein, denn die anderen beiden Skalare sind ebenfalls rational, beispielsweise 2 und -1.

Die nichttriviale Relation lautet nunmehr: $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{2} + 0 \cdot \sqrt{3} - 1 \cdot \sqrt{8} = 0 \end{eqnarray*}$

0 ist auch eine rationale Zahl (wie 2 und -1) und bei der lin. Abhängigkeit geht es nur darum, dass nicht alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ gleich Null sind!

mY+

13.12.2022, 01:12

Evelyn2003

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Zitat:

Original von mYthos

Der springende Punkt ist der, dass der 3. Vektor $\begin{eqnarray*} \sqrt 8 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2 \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ das 2-fache des 1. Vektors $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ist.
Also besteht zwischen dem ersten und dritten Vektor ein rationales Verhältnis.
Dabei kann der Skalar beim 2. Vektor jetzt ohne Weiteres (rational) Null sein, denn die anderen beiden Skalare sind ebenfalls rational, beispielsweise 2 und -1.

Vielen Dank, Mythos! Mit Zunge

Wenn von Anfang an der Körper die Reelen Zahlen gewesen wäre, müsste doch dann ebenso für alle drei Vektoren eine lineare Abhängigkeit gelten, oder?

13.12.2022, 11:17

HAL 9000

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Über dem Körper der reellen Zahlen ist das alles kein Thema: Da ist eine beliebige Menge von zwei oder mehr reellen Zahlen immer linear abhängig.

13.12.2022, 21:19

mYthos

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Zitat:

Original von Evelyn2003
...
Wenn von Anfang an der Körper die Reelen Zahlen gewesen wäre, müsste doch dann ebenso für alle drei Vektoren eine lineare Abhängigkeit gelten, oder?

Das von HAL Gesagte kannst du auch leicht selbst nachvollziehen:

Man kann immer (bei 3 Vektoren dieses Raumes) 3 reelle Skalare so bestimmen, dass eine nichttrivials Relation entsteht.
Dabei wähle $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \text{ und } \lambda_2 \end{eqnarray*}$ beliebig und löse die Relation nach $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

Beispiel:
Die Vektoren seien $\begin{eqnarray*} \sqrt 2, \ \sqrt 3, \ \sqrt 7, \ ;\ \lambda_1 = 0, \ \lambda_2 = 1, \ \lambda_3 \ \text{ist so zu bestimmen, dass die (nichttriviale) Relation erfüllt ist} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \sqrt 2 + 1 \cdot \sqrt 3 + \lambda_3 \cdot \sqrt 7 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_3 = -\frac{\sqrt 3}{\sqrt 7} \end{eqnarray*}$ , dieses ist zwar irrational, aber reell.
Es liegt lineare Abhängigkeit vor.

Allgemein ist bei 3 (eindimensionalen) Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, \ v_2, \ v_3 \text{ in } \lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v2 + \lambda_3 \cdot v_3 = 0 \end{eqnarray*}$ beispielsweise $\begin{eqnarray*} \lambda_3 = -\frac{\lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2}{v_3} \end{eqnarray*}$

mY+

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