Ausgleichsproblem mit Givens

11.12.2022, 12:57	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgleichsproblem mit Givens Hallo liebes Matheboard, Wir sollen ein bestimmtes Problem mit Givens-Rotation lösen... offengesagt ist mir noch schleierhaft WO genau ich jetzt die Rotationenanwenden soll.... Grüße, eure HiBee
11.12.2022, 20:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute man soll ausnutzen, dass die euklidische Norm rotationsinvariant ist, d.h. $\begin{eqnarray} \\| Rx\\|_2 = \\| x\\|_2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und alle Rotationen (insb. Givens-Rotationen) $\begin{eqnarray} R \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray}$ . D.h. ich würde eine Rotation suchen, damit $\begin{eqnarray} R \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -3 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine besonders schöne Form hat. Die Aufgabe klingt so als ob ihr es in der Vorlesung allgemein gelöst habt und du es einmal für den Spezialfall ausrechnen sollst.
12.12.2022, 19:33	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die Antwort. Ja, ich glaub du hast recht. Hatte letzte Woche Corona und hab die Vorlesung verpasst, jetzt seh ich leider etwas alt aus! War aber heute wieder im Tutorium und es läuft wohl darauf hinaus das die Norm translationsinvariant ist, also man $\begin{eqnarray} \\|Ax-b\\|=\\|QRx-b\\|=\\|Q^t(QRx-b)\\|=\\|Rx-Q^tb\\| \end{eqnarray}$ hat... aber genaueres muss ich noch überlegen...
13.12.2022, 08:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist wohl ein Standardvorgehen: Wikipedia.
13.12.2022, 10:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Stochastik-Sicht wird ein solches Lineares Regressionsproblem $\begin{eqnarray} \\| Ax-b\\|_2 \to \min! \end{eqnarray}$ ja mit der Methode der Kleinsten Quadrate (MKQ) gelöst: Das führt zum LGLS $\begin{eqnarray} A^TA x = A^Tb \end{eqnarray}$ , was im Fall der Invertierbarkeit von $\begin{eqnarray} A^TA \end{eqnarray}$ die eindeutige Lösung $\begin{eqnarray} x = \left(A^TA\right)^{-1} A^Tb \end{eqnarray}$ ergibt. Könnte zumindest als Probe dienen für das hier auf andere Weise ermittelte Resultat.
14.12.2022, 15:58	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh boy... Ich hab ungefähr verstanden, was wir machen sollen, aber mich 100 mal verrechnet und mein Ergebnis stimmt immer noch nicht. ...Ich glaub der Prof hat gekifft, als er sich diese Werte ausgedacht hat...
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14.12.2022, 16:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Vergleich mein Regressionsergebnis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\end{pmatrix} = \frac{1}{46}\begin{pmatrix}-10\\ 11\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
18.12.2022, 19:43	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab meine Tutorin gefragt, weil sie was anderes raushatte mit QR Zerlegung... sie rechnet nochmal nach
18.12.2022, 20:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, per Probe durch Einsetzen lässt sich zumindest nachweisen, dass derjenige Lösungsversuch mit der größeren $\begin{eqnarray} \\|\cdot\\|_2 \end{eqnarray}$ -Norm falsch ist - was natürlich noch nicht zwingend heißt, dass der andere richtig ist. Für das von mir angegebene $\begin{eqnarray} \alpha,\beta \end{eqnarray}$ ergibt sich jedenfalls Normwert $\begin{eqnarray} \frac{13}{\sqrt{46}} \end{eqnarray}$ .

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