Fortsetzung Inhalt auf Halbring zu Inhalt auf Ring

12.12.2022, 08:27	Atelier16	Auf diesen Beitrag antworten »
Fortsetzung Inhalt auf Halbring zu Inhalt auf Ring Meine Frage: Zeige, dass sich jeder Inhalt auf einem Halbring zu einem Inhalt auf dem zugehörigen Ring fortsetzen lässt. Meine Ideen: Ich weiß leider nicht wirklich wie ich vorgehen soll und hoffe, dass mir hier jemand weiterhelfen kann. Vielen Dank schonmal im Voraus
12.12.2022, 11:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, mal überlegen: Sei $\begin{eqnarray} \mathcal{H} \end{eqnarray}$ der Halbring mit Inhalt $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \mathcal{R} \end{eqnarray}$ der von $\begin{eqnarray} \mathcal{H} \end{eqnarray}$ erzeugte Ring. Nun definieren wir eine Mengenfunktion $\begin{eqnarray} \tilde{\mu} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathcal{R} \end{eqnarray}$ in der Weise: $\begin{eqnarray} \tilde{\mu}(A) = \sum_{k=1}^n \mu(A_k) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A\in\mathcal{R} \end{eqnarray}$ , für die es disjunkte $\begin{eqnarray} A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{H} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A = \bigcup_{k=1}^n A_k \end{eqnarray}$ gibt. Man muss nun zeigen, (a) dass damit alle Mengen $\begin{eqnarray} A\in\mathcal{R} \end{eqnarray}$ erfasst werden, (b) diese Definition in sich widerspruchsfrei ist, d.h., verschiedene solche Zerlegungen auf denselbe Inhaltswert führen, und (c) $\begin{eqnarray} \tilde{\mu}(A) = \mu(A) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A\in\mathcal{H} \end{eqnarray}$ gilt.
12.12.2022, 21:02	Atelier16	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für den Ansatz. Damit habe ich die Aufgabe lösen können.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »