Householder Qv

12.12.2022, 20:23

HiBee123

Householder Qv

Hallo Mathemenschen,

ich bin gerade etwas irritiert, vielleicht legt sich das noch, dann meld ich mich, vielleicht wisst ihr auch Rat, vielleicht beides....

Was soll dieser kryptische Text bedeuten?

Einmal steht da "Qv explizit" und dann "reine Multiplikation mit Qv"... Wo ist denn der Unterschied?

Gruß,
eure HiBee

12.12.2022, 22:39

HiBee123

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RE: Householder Qv
Hab's gefunden smile

!
$\begin{eqnarray*} Q_vw=w-\frac{2v^Tw}{v^Tv}\cdot v \end{eqnarray*}$

Auch wenn diese Lösung vom Himmel fällt... Wer Zeit hat es zu beweisen... Wär cool! smile

Edit: Ne Moment... Das ist Householder mal einem Vektor, wir sollen aber Householder mal einer Matrix machen... ich weiß doch nicht was gemeint ist...

Edit 2: scheinbar so: $\begin{eqnarray*} Q_vB=B-v \cdot \frac{2v^TB}{v^Tv} \end{eqnarray*}$

aber wieso , das weiß der Geier...

13.12.2022, 08:44

IfindU

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RE: Householder Qv
$\begin{eqnarray*} \frac {v^T w}{v^Tv} v \end{eqnarray*}$ ist die Projektion von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Sollte dir von Gram-Schmidt Orthogonalisierungsverfahren bekannt vorkommen.

Du hast leider nicht gesagt was $\begin{eqnarray*} Q_v \end{eqnarray*}$ macht. Laut Formel ist es der Spiegelungsoperator an der Hyperebene definiert durch $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ .

D.h. was passiert: $\begin{eqnarray*} w - \frac {v^T w}{v^Tv} v \end{eqnarray*}$ ist die Projektion von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ auf die Hyperebene generiert durch $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Geht man doppelt so weit, d.h. bewegt man sich noch einmal Richtung $\begin{eqnarray*} - \frac {v^T w}{v^Tv} v \end{eqnarray*}$ , so landet man bei der Spiegelung von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ an der Hyperebene.

14.12.2022, 15:53

HiBee123

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RE: Householder Qv
$\begin{eqnarray*} Q_v=I-2\frac{vvT}{vTv} \end{eqnarray*}$ ist die Householdermatrix von v.

Ich hab selber nicht so ganz verstanden wie genau Householder funktioniert. Was es für uns für die Praxis macht ist Matrizen mit transformationen (die orthogonal sind) auf eine obere Dreiecksmatrix zu bringen. (QR-Zerlegung)

14.12.2022, 16:05

IfindU

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RE: Householder Qv
Du willst also wissen ,wie man von

Zitat:

Original von HiBee123
$\begin{eqnarray*} Q_v=I-2\frac{vvT}{vTv} \end{eqnarray*}$

auf

Zitat:

Original von HiBee123
$\begin{eqnarray*} Q_vw=w-\frac{2v^Tw}{v^Tv}\cdot v \end{eqnarray*}$

kommst? Oder was genau ist unklar?

14.12.2022, 16:16

HiBee123

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RE: Householder Qv
Ja es ist bestimmt trivial, aber ich sehs gerade nicht, die Frage ist eigentlich nur,
wieso ist $\begin{eqnarray*} Q_vw=(I-2\frac{vv^T}{v^Tv})w=w-2\frac{v^Tw}{v^Tv}v \end{eqnarray*}$

14.12.2022, 16:25

IfindU

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RE: Householder Qv
$\begin{eqnarray*} Iw = w \end{eqnarray*}$ ist klar und für den zweiten Term ist $\begin{eqnarray*} \frac 2 {v^Tv} \end{eqnarray*}$ ein Skalar. Interessant ist also ausschließlich $\begin{eqnarray*} (v v^T) w = v (v^T w) \end{eqnarray*}$ , und das ist das Assoziativgesetz für Matrixmultiplikation.

14.12.2022, 16:31

HAL 9000

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Das Problem ist, das man bei jeder der vielen (unsichtbaren) Multiplikationen verstehen sollte, um was für eine Multiplikation es sich gerade handelt:

$\begin{eqnarray*} vv^T \cdot w = v\cdot v^Tw = v^Tw\cdot v \end{eqnarray*}$

versteht man womöglich erst durch die folgende Aufschlüsselung:

$\begin{eqnarray*} {\color{red}*} \end{eqnarray*}$ sei die Multiplikation von Matrix mit Vektor
$\begin{eqnarray*} {\color{blue}*} \end{eqnarray*}$ sei die Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt)
$\begin{eqnarray*} {\color{darkgreen}*} \end{eqnarray*}$ sei die Multiplikation von reeller Zahl mit Vektor

Dann steht dort

$\begin{eqnarray*} vv^T {\color{red}*} w = v{\color{darkgreen}*} \left(v^T {\color{blue}*w}\right) = \left(v^T {\color{blue}*}w\right) {\color{darkgreen}*}v \end{eqnarray*}$ ,

und letzteres gilt, weil die Multiplikation von reeller Zahl und Vektor vertauschbar ist.

P.S.: Ich hab $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ genommen, weil man bei letzterem die Farben kaum erkennen kann. smile

14.12.2022, 16:37

HiBee123

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Ach so! Ja danke, jetzt ist es klar. Ich hatte halt die Kommutativität nicht gesehen...

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