Langer Pokerabend

13.12.2022, 12:59

Dopap

Langer Pokerabend

Karl verließ um 21 Uhr 53 unsere Poker Runde um Zigaretten am Automaten zu holen, versprach aber
in genau 3^3^3^3 Minuten wieder da zu sein.
Da sich das Warten hinzog wurde wie beim Roulette heftig auf die mögliche Rückkehr Minute
von 0 bis 59 gesetzt.
Leider haben wir bisher nichts mehr von Karl gehört...

Trotzdem würde ich gerne die laufenden Wetten mit Bekanntgabe der Rückkehr Minute abschließend beenden.

13.12.2022, 13:09

HAL 9000

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In C/C++ ist ^ der Operator für bitweises XOR, d.h., da ist 3^3^3^3 = 0, d.h. Karl sollte unmittelbar wieder da sein. smile

13.12.2022, 13:22

adiutor62

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3^3^3^3 = 1.25801429062749131786039069820328121551804671431659 × 10^3638334640024 Minuten.
= ca. 10^(10^12,56)

Bis dahin sind die letzten schwarzen Löcher irre-x-mal verdampft.

Dafür lässt sich wohl kein Zahlenbegriff mehr finden oder doch?

13.12.2022, 13:50

IfindU

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@aduitor62 Man kann aber recht leicht den Wert Modulo 60 bestimmen, und das ist alles was man braucht.

Dass Karl nie wieder zurückkommt und ggf. der Begriff der Zeit bis dahin unbedeutend ist, soll wohl heimlich ausgeklammert werden.

13.12.2022, 14:09

HAL 9000

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Interessanterweise kommt sowohl für $\begin{eqnarray*} 3^{3^{3^3}} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \left(\left(3^3\right)^3\right)^3 \end{eqnarray*}$ Minuten (letzteres sind etwas über 14 Millionen Jahre) modulo 60 jeweils dasselbe heraus.

13.12.2022, 14:39

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Da fällt mir ein, ich muss noch einen Tisch im Restaurant reservieren. Augenzwinkern

13.12.2022, 18:11

Dopap

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wie?

Zitat:

Original von IfindU
[...] Man kann aber recht leicht den Wert Modulo 60 bestimmen, und das ist alles was man braucht.

spielt hier $\begin{eqnarray*} n\uparrow \uparrow m \mod 3\cdot 20 \end{eqnarray*}$ eine Rolle und gibt es dazu einen passenden Satz?

13.12.2022, 20:34

IfindU

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RE: wie?
Ich bin da sehr naiv dran gegangen. $\begin{eqnarray*} 60 = 3\cdot 4 \cdot 5 \end{eqnarray*}$ .

Offenbar $\begin{eqnarray*} 3^{3^{3^3}} \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{3^{3^3}} \equiv (-1)^{3^{3^3}} \equiv -1 \mod 4 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 3^{3^3} \end{eqnarray*}$ ungerade ist.

Etwas komplizierter dachte ich mir
$\begin{eqnarray*} 3^{3^{3^3}} = 9\cdot 3^{(3^{3^3}-2)} \equiv (-1)\cdot 3^{(3^{3^3}-2)} \equiv (-1)^k\cdot 3^{(3^{3^3}-2k)} \mod 5 \end{eqnarray*}$ .

Die Frage ist dann nur noch, ob $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gerade oder ungerade ist, wenn wir $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ möglichst groß wählen, d.h. $\begin{eqnarray*} 3^{3^3} - 2k = 1 \end{eqnarray*}$ . Betrachtet ma $\begin{eqnarray*} 3^{3^3} - 1 \end{eqnarray*}$ modulo 4, kann man ähnlich rechnen mit $\begin{eqnarray*} 3^{3^3} - 1 \equiv (-1)^{3^3} - 1 \mod 4 = 2 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ungerade.

Zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} 3^{3^{3^3}} \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{3^{3^3}} \equiv 3 \mod 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{3^{3^3}} \equiv 2 \mod 5 \end{eqnarray*}$

Es sollte genau eine Zahl zwischen 0 und 60 geben, die diese Bedingungen erfüllt.

13.12.2022, 21:16

HAL 9000

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Eine einfache Folgerung des Satzes von Euler-Fermat : Sind $\begin{eqnarray*} a,m \end{eqnarray*}$ teilerfremd, dann folgt aus $\begin{eqnarray*} r\equiv s\bmod\varphi(m) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a^r\equiv a^s\bmod m \end{eqnarray*}$ .

Das wenden wir auf $\begin{eqnarray*} a=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=20 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(m)=8 \end{eqnarray*}$ an: Es ist

$\begin{eqnarray*} 3^{3^3} = 3^{27} = 3\cdot 9^{13}\equiv 3\bmod 8 \end{eqnarray*}$

und daher

$\begin{eqnarray*} 3^{3^{3^3}}\equiv 3^3 = 27\bmod 20 \end{eqnarray*}$ .

Da zudem auch $\begin{eqnarray*} 3^{3^{3^3}}\equiv 0\bmod 3 \end{eqnarray*}$ gilt, folgt mit chinesischem Restsatz sofort auch $\begin{eqnarray*} 3^{3^{3^3}}\equiv 27\bmod 60 \end{eqnarray*}$ .

14.12.2022, 11:21

Dopap

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Der Satz von Euler-Fermat also, gut zu wissen.
Dann ist der Rest ja ziemlich klar:

auf 27 Minuten nach * h 53' oder 20' nach der vollen Stunde galt es zu setzen.

14.12.2022, 11:58

IfindU

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Zitat:

Original von Dopap
Der Satz von Euler-Fermat also, gut zu wissen.

Oder man macht es krampfhaft per Hand wie ich. Das ist immer eine Option Big Laugh

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