K-Lineare Abbildungen und Morphismen

14.12.2022, 14:05	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
K-Lineare Abbildungen und Morphismen Meine Frage: Hallo mal wieder an alle, Ich hätte hier wieder eine Aufgabe, bei der mir die Ansätze zur mathematisch korrekten Schreibweise fehlen. Sie geht wie folgt: Sei f : V -> W eine K-lineare Abbildung. (a) Sei S c V eine Teilmenge. Zeigen Sie: (i) Ist f ein Monomorphismus und ist S linear unabhängig in V , so ist f(S) linear unabhängig in W. (ii) Ist f ein Epimorphismus und ist S ein Erzeugendensystem von V , so ist f(S) ein Erzeugendensystem von W. (iii) Ist f ein Isomorphismus und ist S eine Basis von V , so ist f(S) eine Basis von W. (b) Sei nun V endlich dimensional und f ein Monomorphismus. Zeigen Sie, dass für jeden Untervektorraum U c V gilt dim f(U) = dim U. Folgern Sie U 'ungefähr gleich' f(U). Meine Ideen: Zu a) i): Hier habe ich mir überlegt, dass, wenn f ein Monomorphismus ist, also injektiv und S linear Unabhängig in V ist, dass die Abbildung linear unabhängig ist weil für jede andere Teilmenge T in V die Injektivität f(S)=f(T) nur gelten kann (weil S l.u.) wenn f(S) l.u ii): Hier habe ich die Definition ausgenutzt, dass f surj. ist, also für das Erz.Sys. S gibt es mind. ein Elt. in W => f(S) Erz.Syst iii): Weil f bij. => "V = W" => f(S) Basis von W, weil S Basis von V b): Hier fehlt mir noch der Beweis für dim(f(U)) = dim(U). Ich hätte mit der injektivität begründet, aber bin mir da nicht ganz so sicher Wenn mir jemand helfen könnte mit den Ansätzen wäre ich dem-/derjenigen sehr dankbar
14.12.2022, 18:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematisch richtig ist immer nur ein Beweis, der von bekannten Begriffen, Definitionen und Sätzen ausgeht und durch logisch richtige Schlußfolgerungen zu den Aussagen kommt, die behauptet werden. a) (i) Sei $\begin{eqnarray} f:V\to W \,K \end{eqnarray}$ -linear und injektiv, $\begin{eqnarray} \lambda_k\in K, x_k\in S\subseteq V \end{eqnarray}$ linear unabhängig, $\begin{eqnarray} k=1,...,n \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n\lambda_kf(x_k)=0\Rightarrow f(\sum_{k=1}^n\lambda_kx_k)=0 \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} f:V\to W \,K \end{eqnarray}$ -linear $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum_{k=1}^n\lambda_kx_k=0 \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ injektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \forall k\in\{1,...,n\}:\lambda_k=0 \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(S) \end{eqnarray}$ linear unabhängig nach Definition. qed "Billliger" geht es nicht, das kann und darf man nicht in ein paar dürren Worten zu erklären versuchen, sonst kommt niemals ein Beweis zustande. Versuche die anderen Behauptungen auf ähnliche Art zu beweisen, Versuch macht klug.
14.12.2022, 20:58	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo erstmal und vielen Dank für deine Antwort . Ich hab mich mal an der 2) und 3) versucht. Vorab: kann ich nicht aus der 1 und 2 folgen, dass die 3 Stimmt ? in 1 und 2 haben wir gezeigt, dass injektivität l.u folgt und aus surj. Erz.System folgt. In 3 ist f ja ein Isomorphismus, also bijektiv (surj. und inj.) also ein Erz. System (nach 2) und l.u (aus 1), was die Definition einer Basis ist. Meine 2: Sei $\begin{eqnarray} f: V -> W \end{eqnarray}$ K-linear und surj. zw. $\begin{eqnarray} a_{K} \in K, x_{K} \in S \subseteq V \end{eqnarray}$ Erz.System mit k=1,...,n: z.z: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} a_{K}f(x_{K}) = w \end{eqnarray}$ mit w beliebiges Elt. von W: Aus K-Linearität folgt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} a_{K}f(x_{K}) = \sum\limits_{k=1}^{n} f(a_{K}x_{K}) \end{eqnarray}$ Mit surj. folgt, dass für jedes Elt. x ein Elt. w in W exitsiert, sodass f(x) = w: Dann gilt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} f(a_{K}x_{K}) = \sum\limits_{k=1}^{n} w_{K} => \sum\limits_{k=1}^{n} f(a_{K}x_{K}) = w \end{eqnarray}$ . Wäre das so richtig ?
14.12.2022, 21:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus 1 und 2 folgt 3,das stimmt. Dein Beweis für 2 ist nicht ganz überzeugend. Ein Erzeugendensystem S muss nicht endlich sein, und deine Argumentation ist nicht logisch schlüssig. Du darfst wegen der Surjektivitaet mit w=f(x) anfangen für beliebiges w. Und dann...?
14.12.2022, 21:58	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dann gefolgert, dass wenn Surjektivität gilt, dass jedes Element in der Summe von 1 bis n ein w haben sollte. Also: ist nach f(x) = w die Summe aller Abbildungen von x eben die Summe, die ich hingeschrieben habe. Das w muss dann aber auch Summiert werden, weil eben die Surjektivität gilt. Soweit zumindest meine Überlegung
14.12.2022, 22:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Worte allein helfen nicht. $\begin{eqnarray} \forall w\in W:w=f(x) \end{eqnarray}$ weil f surjektiv $\begin{eqnarray} \forall x\in V:x=\sum_{k=1}^na_kx_k,a_k\in K, x_k\in S \end{eqnarray}$ weil S Erzeugendensystem von V $\begin{eqnarray} \Rightarrow w=f(x) =f(\sum_{k=1}^na_kx_k)=\sum_{k=1}^na_kf(x_k)\in <f(S)> \end{eqnarray}$ qed
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