Linearisieren von Systemen 1. Ordnung

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justlikemanuel Auf diesen Beitrag antworten »
Linearisieren von Systemen 1. Ordnung
Hallo liebe Mathematiker,
ich habe eine Frage zum Linearisieren von Systemen 1. Ordnung. Prinzipiell steckt da da die Taylor Entwicklung (bis zum 2. Glied) um einen Fixpunkt k mit mehreren Variablen dahinter.Der Term f(k) fliegt ja per Definition des Fixpunktes raus. Wieso habe ich dann aber in den linearisierten Termen nicht die Verschiebung um den Entwicklungspunkt, also: f_x(k)*(u-u_k)+f_y(k)*(v-v_k)

(D.h. die Verschiebung um u_k bzw v_k fällt weg?)

Viele Grüße,
Manuel
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen du hast ein 2-dimensionales, nichtlineares System 1.Ordnung



Dabei hängen die Funktionen und in irgendeiner nichtlinearen Weise von den gesuchten Funktionen und ab. Will man dieses System in der Nähe des konstanten Fixpunktes linearisieren, so setzt man zunächst

___________________________(Ansatz)


Die ersten Summanden im Ansatz sind konstant (Fixpunkt). Die zweiten Summanden müssen "kleine" Funktionen sein. Einsetzen in das obige System ergibt



Auf der linken Seite fallen die Ableitung der konstanten Summanden und nach der Zeit weg. Die rechte Seite entwickelt man bis zur linearen Ordnung, also



Dies ist ein lineares Gleichungssystem für die "kleinen" Funktionen und . Hat diese kleinen Funktionen mittels Lösung des linearen Systems gefunden, setzt man diese in den obigen Ansatz ein und hat eine Näherungslösung in der Nähe des Fixpunktes.

Diese gesamte Betrachtung ist nur solange sinnvoll, wie die Funktiuonen und im obigen Ansatz "klein" sind. Anderenfalls ist die Näherung zu schlecht und die gesamte Rechnung sinnlos. Die Motivation für diese Linearisierung ist allein die Vereinfachung des ursprünglichen Systems.
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