Linearisieren von Systemen 1. Ordnung

15.12.2022, 09:06	justlikemanuel	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearisieren von Systemen 1. Ordnung Hallo liebe Mathematiker, ich habe eine Frage zum Linearisieren von Systemen 1. Ordnung. Prinzipiell steckt da da die Taylor Entwicklung (bis zum 2. Glied) um einen Fixpunkt k mit mehreren Variablen dahinter.Der Term f(k) fliegt ja per Definition des Fixpunktes raus. Wieso habe ich dann aber in den linearisierten Termen nicht die Verschiebung um den Entwicklungspunkt, also: f_x(k)(u-u_k)+f_y(k)(v-v_k) (D.h. die Verschiebung um u_k bzw v_k fällt weg?) Viele Grüße, Manuel
18.12.2022, 23:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen du hast ein 2-dimensionales, nichtlineares System 1.Ordnung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \tfrac{dx_1}{dt} \\ \tfrac{dx_2}{dt} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} F_1(x_1,x_2) \\ F_1(x_1,x_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei hängen die Funktionen $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ in irgendeiner nichtlinearen Weise von den gesuchten Funktionen $\begin{eqnarray} x_1(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2(t) \end{eqnarray}$ ab. Will man dieses System in der Nähe des konstanten Fixpunktes $\begin{eqnarray} (x_{01}\|x_{02}) \end{eqnarray}$ linearisieren, so setzt man zunächst $\begin{eqnarray} x_1=x_{01}+\Delta x_1 \end{eqnarray}$ ___________________________(Ansatz) $\begin{eqnarray} x_2=x_{02}+\Delta x_2 \end{eqnarray}$ Die ersten Summanden im Ansatz sind konstant (Fixpunkt). Die zweiten Summanden müssen "kleine" Funktionen sein. Einsetzen in das obige System ergibt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \tfrac{d\Delta x_1}{dt} \\ \tfrac{\Delta dx_2}{dt} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} F_1(x_{01}+\Delta x_1,x_{02}+\Delta x_2) \\ F_1(x_{01}+\Delta x_1,x_{02}+\Delta x_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Auf der linken Seite fallen die Ableitung der konstanten Summanden $\begin{eqnarray} x_{01} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{02} \end{eqnarray}$ nach der Zeit weg. Die rechte Seite entwickelt man bis zur linearen Ordnung, also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \tfrac{d\Delta x_1}{dt} \\ \tfrac{\Delta dx_2}{dt} \end{pmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix} F_1(x_{01},x_{02}) \\ F_1(x_{01},x_{02}) \end{pmatrix}}_{\text{konstant}} + \underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial F_1}{\partial x_2} \\ \tfrac{\partial F_2}{\partial x_1} & \tfrac{\partial F_2}{\partial x_2} \end{pmatrix}}_{\text{konstant}}\begin{pmatrix} \Delta x_1 \\ \Delta x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dies ist ein lineares Gleichungssystem für die "kleinen" Funktionen $\begin{eqnarray} \Delta x_1(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Delta x_2(t) \end{eqnarray}$ . Hat diese kleinen Funktionen mittels Lösung des linearen Systems gefunden, setzt man diese in den obigen Ansatz ein und hat eine Näherungslösung in der Nähe des Fixpunktes. Diese gesamte Betrachtung ist nur solange sinnvoll, wie die Funktiuonen $\begin{eqnarray} \Delta x_1(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Delta x_2(t) \end{eqnarray}$ im obigen Ansatz "klein" sind. Anderenfalls ist die Näherung zu schlecht und die gesamte Rechnung sinnlos. Die Motivation für diese Linearisierung ist allein die Vereinfachung des ursprünglichen Systems.

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