Winkelberechnung

15.12.2022, 13:46

meiland

Winkelberechnung

Meine Frage:
3 Punkte A(x,y), B(x,y) und C(x,y)

bekannt sind: Punkte A, B und die Entfernungen C-A und C-B

Berechnung von C
Ergebnis sind 2 mögliche Lösungspunkte von C1 und C2

Außerdem ist bekannt: die beiden "rechtsherum gemessene Winkel" zwischen den Geraden C-A und C-B. Nicht zwischen C-B und C-A !
In der Skizze rot dargestellt.
Da es 2 Lösungsmöglichkeiten gibt, beträgt der Winkel einmal 0-180° und einmal 180 -360°
Kann ich mathematisch ermitteln, welches die richtige Lösung ist ?
Das soll in einem Positionierungssystem verwendet werden.

Meine Ideen:
In der Skizze ist es eindeutig sichtbar, welches die Lösung ist C1 oder C2.

15.12.2022, 14:56

klauss

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RE: Winkelberechnung
Also rekapitulierend: In den Dreiecken ABC1 und ABC2 kennen wir die drei Seitenlängen und einen Innenwinkel. Damit lassen sich C1 und C2 auf jeden Fall berechnen.
Gibt es bei der Berechnung ein Problem oder geht es wirklich nur darum, welche Lösung "richtig" ist?
Dazu müßte man wohl den Sachzusammenhang besser kennen und eine Zusatzbedingung als Entscheidungskriterium definieren.

15.12.2022, 16:12

meiland

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RE: Winkelberechnung
Ja, die Dreiecke ABC1 und ABC2 sind nach Berechnung vollständig bekannt.
Wie ich schon andeutete, ist das eine Roboterpositionierung.
A und B sind meine festen Baken. Der Rob befindet sich an Position C.
Ich muss ermitteln, ob ich mich an C1 oder C2 befinde. Deswegen mache ich eine Peilung von meinem Standort C, zu A und zu B und erhalte die beschriebenen Winkel.
Wie könnte ich mit Hilfe dieser Winkel und vor allem der Info, ob A oder B rechts oder links steht, auf den richtigen Standort C1 oder c2 schließen?

15.12.2022, 16:43

klauss

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RE: Winkelberechnung
Da also die Koordinaten der Punkte A, B, C bekannt sind und der Innenwinkel bei C stets echt zwischen 0° und 180° sein dürfte, würde mir z. B. einfallen, die Dreiecksfläche zur Kontrolle heranzuziehen.
Wenn Du die Determinantenformel fest in der Reihenfolge $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \overrightarrow{CA} & \overrightarrow{CB} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ auswertest, bekommst Du ein positives Ergebnis im Fall C2 und ein negatives Ergebnis im Fall C1. Das bloße Vorzeichen ist das Entscheidungskriterium.
Das wäre eine spontane einfache Idee, die problemlos mit Schulmitteln umsetzbar ist. Programmiertechnisch kein Akt, falls das für Deine Zwecke genügt.

15.12.2022, 16:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von meiland
Ich muss ermitteln, ob ich mich an C1 oder C2 befinde. Deswegen mache ich eine Peilung von meinem Standort C, zu A und zu B und erhalte die beschriebenen Winkel.
Wie könnte ich mit Hilfe dieser Winkel und vor allem der Info, ob A oder B rechts oder links steht, auf den richtigen Standort C1 oder c2 schließen?

Das mit dem "links oder rechts" ignoriere ich mal, denn das hängt ja doch davon ab, mit welcher Blickrichtung du startest...

Es ist doch eher so: Du schaust dich um bis du $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ entdeckst und drehst dich dann im Uhrzeigersinn bis du $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ siehst, und diesen Winkel gibst du an. Damit ist doch dann alles klar: Winkel < 180° bedeutet $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ , andernfalls ist es $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Irgendwie definierst du im Verlauf des Threads deine eigentlichen Ziele z.T. immer wieder neu. Im Eröffnungsposting klang es noch so, als wolltest du aus den Koordinaten von $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ sowie den bekannten Entfernungen dieser Punkte von C die Koordinaten der beiden möglichen Punkte $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ berechnen wollen - wovon zuletzt keine Rede mehr war.

15.12.2022, 17:33

meiland

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Zitat:

Original von HAL 9000
Irgendwie definierst du im Verlauf des Threads deine eigentlichen Ziele z.T. immer wieder neu....

A und B sind bekannte Punkte. Daraus lässt sich mit den beiden bekannten Entfernungen zu C, leicht Punkt C berechnen. Damit sind beide Dreiecke vollständig beschrieben.

Zitat:

Original von HAL 9000
Das mit dem "links oder rechts" ignoriere ich mal, denn das hängt ja doch davon ab, mit welcher Blickrichtung du startest...

Wie ich schon schrieb, er steht(eigentlich fährt er ja) am Punkt C1 oder C2 und muss die genaue Position kennen, um daraus die neue Richtung zu einem neuen Zielpunkt einzuschlagen.
Ich muss wissen, ob ich auf C1 oder C2 stehe. Ich fahre niemals zu A oder B. Ich peile nur die Winkel.
Dieses "rechts oder links" ist, denke ich mal, der einzigste Anhaltspunkt den ich habe.
Oder übersehe ich da was? Kannst Du mir sagen, wie ich das aktuelle C berechnen könnte ?

15.12.2022, 17:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von meiland
Ich fahre niemals zu A oder B. Ich peile nur die Winkel.

Anderes habe ich ja auch nie behauptet. Aber du hast von "links" und "rechts" gesprochen, und das macht für mich in dem Zusammenhang keinen Sinn.

15.12.2022, 17:40

meiland

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RE: Winkelberechnung

Zitat:

Original von klauss
...Wenn Du die Determinantenformel fest in der Reihenfolge $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \overrightarrow{CA} & \overrightarrow{CB} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ auswertest, bekommst Du ein positives Ergebnis im Fall C2 und ein betraglich gleiches negatives Ergebnis im Fall C1. Das bloße Vorzeichen ist das Entscheidungskriterium....

Das klingt sehr interessant.
Kannst Du mir bitte mit "Determinantenformel" auf die Sprünge helfen. Meine Schulzeit war vor 60 Jahren...
Danke.

15.12.2022, 17:56

klauss

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RE: Winkelberechnung

Zitat:

Original von meiland
Kannst Du mir bitte mit "Determinantenformel" auf die Sprünge helfen. Meine Schulzeit war vor 60 Jahren...

Gern. Aber bitte gib mir doch zum konkreten Rechnen Koordinaten von A, B und C - am besten für zwei mögliche Fälle C1 und C2, von denen Du schon die Lösung kennst -, nur um etwas Fleisch an den Knochen zu bringen.

17.12.2022, 15:35

meiland

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RE: Winkelberechnung
Ein einfaches Beispiel:
A(3,3)
B(8,5)
Von C ausgehend messe ich von Richtung CA ( also b) "rechtsherum" den Winkel zu Richtung CB (also a): 260 grd
Der Winkel hat eine Ungenauigkeit +/-5 grd.
Nach meiner Handskizze ganz grob beträgt C1(4,6) und C2(6,1.5).

Nun könnte man c berechnen ca. 5,39.

Das Ergebnis muss ein eindeutiger Punkt C sein, also entweder C1 oder C2.

Das ganze soll mit einem µC mehrfach in der Sekunde berechnet werden.

17.12.2022, 16:21

klauss

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RE: Winkelberechnung
Mit den gegebenen Punkten A und B ist deren Abstand c theoretisch genau $\begin{eqnarray*} \sqrt{29} \end{eqnarray*}$ .
Für diese C1 und C2 ergeben sich dann die Vektoren
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{C_{1}A }=\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{C_{1}B }=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{C_{2}A }=\begin{pmatrix} -3 \\ 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{C_{2}B }=\begin{pmatrix} 2 \\ 3,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit Determinanten errechnet sich
im Fall C1 $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} =(-1)(-1)-(-3)\cdot 4=13 >0 \end{eqnarray*}$
m Fall C2 $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 1,5 & 3,5 \end{vmatrix} =(-3)\cdot 3,5-1,5 \cdot 2=-10,5-3 =-13,5 <0 \end{eqnarray*}$
Kleine Ungenauigkeiten der Winkelmessung beeinflussen das Vorzeichen nicht relevant.

Also funktionieren dürfte das, wie man es ressourcenschonend programmieren könnte, wäre ein anderes Thema.

Übrigens: Statt bezüglich Winkelorientierung "rechts" oder "links" herum zu sagen, solltest Du wie gemein üblich "im Uhrzeigersinn" oder "gegen den Uhrzeigersinn" verwenden.

17.12.2022, 16:57

meiland

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RE: Winkelberechnung

Zitat:

Original von klauss
Mit Determinanten errechnet sich
im Fall C1=13 >0
m Fall C2 =-13,5 <0

Was sagt mir das Ergebnis 13 bzw -13,5 ?

17.12.2022, 17:10

klauss

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RE: Winkelberechnung
Das Vorzeichen besagt, dass man im Fall C1 von CA nach CB den Innenwiinkel gegen den Uhrzeigersinn überstreicht, im Fall C2 im Uhrzeigersinn.
Also kann man aus dem Vorzeichen auf C1 oder C2 rückschließen. Wie gesagt ist der Zahlenwert als solcher erstmal uninteressant.

17.12.2022, 17:25

meiland

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RE: Winkelberechnung

Zitat:

Original von klauss
Das Vorzeichen besagt, dass man im Fall C1 von CA nach CB den Innenwiinkel gegen den Uhrzeigersinn überstreicht, im Fall C2 im Uhrzeigersinn....

Vielen Dank.
Das ist genau das, was ich benötige.
Ein herrliches Forum.
Gruß Frank

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