Surjektive lineare Abbildung

15.12.2022, 18:04

Nostromo

Surjektive lineare Abbildung

Meine Frage:
Seien V und U K-Vektorräume und $\begin{eqnarray*} \psi: V \rightarrow U \end{eqnarray*}$ eine surjektive lineare Abbildung. Nehmen Sie an, V besitzt ein Erzeugensystem $\begin{eqnarray*} \{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray*}$ .

a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \{\psi(v_1),\psi(v_2),\psi(v_3)\} \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von U ist.

b) Schließen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \dim_K(U) \leq 3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a) habe ich schon gelöst.

b) Da habe ich Probleme. Ich weiß ja, dass ein Erzeugendensystem von V und U aus drei Vektoren besteht. Es könnte ja sein das diese drei Vektoren linear unabhängig sind also sie eine Basis bilden, dann gilt $\begin{eqnarray*} \dim(U)=3 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} \dim(U)=2 \end{eqnarray*}$ können wir sagen, dass wir den dritten Vektor durch die anderen beiden darstellen können. Also das diese zwei linear unabhängige Vektoren die Basis bilden.

Für $\begin{eqnarray*} \dim(U)=1 \end{eqnarray*}$ analog zu oben.

Die Dimension von U kann auch Null sein, wenn es sich bei U um dem Nullraum handelt und $\begin{eqnarray*} \psi(v) \end{eqnarray*}$ alle v auf den Nullvektor abbildet.

Muss ich da noch mehr begründen oder bin ich da schon fertig?

15.12.2022, 19:07

Mulder

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RE: surjektive lineare Abbildung

Zitat:

Original von Nostromo
Ich weiß ja, dass ein Erzeugendensystem von V und U aus drei Vektoren besteht.

Ich würde auf die Formulierung achten. "Ein Erzeugendensystem" muss nicht zwingend aus drei Vektoren bestehen. Klar ist nach Voraussetzung und Teil a) nur, dass es sowohl für U als auch für V mindestens ein Erzeugendensystem gibt, das aus drei Vektoren besteht. Vermutlich ist dir das klar, aber es sei dennoch kurz erwähnt. Es ist in der Mathematik nicht ganz unwichtig, dass man sich klar und unmissverständlich ausdrückt, damit deine Tutoren/Professoren keine Möglichkeiten finden, dir Punkte abzuziehen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Nostromo
Also das diese zwei linear unabhängige Vektoren die Basis bilden.

Eine Basis. Im Allgemeinen gibt es nicht DIE Basis.

Man könnte auch einfach so argumentieren:

Sei $\begin{eqnarray*} \dim_K(U) \geq 4. \end{eqnarray*}$ Dann besteht eine mögliche Basis aus mindestens vier Elementen. $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ Widerspruch zu a), da eine Basis ein minimales Erzeugendensystem ist. Also ist $\begin{eqnarray*} \dim_K(U) \leq 3. \end{eqnarray*}$

Die Aufgabenstellung "Schließen Sie" legt ja den Verdacht nahe, dass man sich explizit auf die Resultate aus a) berufen soll. Eigentlich folgt das ja nun auch wirklich unmittelbar, insofern ist Aufgabe b) ... naja.

15.12.2022, 21:40

Nostromo

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RE: surjektive lineare Abbildung
Ok. Ich glaube ich habs. Vielen Dank.

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