Maß- und Integrationstheorie

15.12.2022, 23:22

Samsara

Maß- und Integrationstheorie

a) Es sei A ={(x,y) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray*}$ : y = $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ }

Zeigen Sie A $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} \end{eqnarray*}$ (A) = 0

b) Es sei U ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ der Dimension dim U < n. Zeigen Sie: U $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B^{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{n} \end{eqnarray*}$ (U) = 0

Ideen habe ich leider im Moment keine. Ein paar Tipps würden mir, so hoffe ich auf die Sprünge helfen

16.12.2022, 09:23

Samsara

Auf diesen Beitrag antworten »

In a) geht es vermutlilich um dasselbe wie in b) nur eben im zwei Dimensionalen. Vielleicht finde ich da jetzt einen Ansatz.

16.12.2022, 10:47

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Mengen sind Borel-Messbar, weil sie abgeschlossen sind.

Zu a) Finde für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit offenen Mengen $\begin{eqnarray*} O_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_k \lambda_2(O_k) < \frac 1 n \end{eqnarray*}$ . Damit folgt es.

Zu b) analog.

16.12.2022, 10:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Falls es hilft: Es reicht bereits aus $\begin{eqnarray*} A_n\in \mathcal{B}^2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lambda_2(A_n)=0 \end{eqnarray*}$ nachzuweisen für die auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [n,n+1] \end{eqnarray*}$ eingeschränkte Menge $\begin{eqnarray*} A_n = A\cap \left( [n,n+1]\times \mathbb{R}\right) \end{eqnarray*}$ . (Je nach Lösungsidee kann das ggfs. eine Erleichterung sein.)

16.12.2022, 16:25

Samsara

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mit der Antwort leider erst mal nichts anfangen. In b)ist die Rede von einem Untervektrorraum U im R $\begin{eqnarray*} ^{n} \end{eqnarray*}$ mit der Dimension dim U<n, also ist die Dimension <n. Jetzt soll ja gezeigt werden, dass der Untervektorraum U $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B^{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{n}(U) =0 \end{eqnarray*}$ , also der Nullvektor ist ?. In diesem Übungsblatt ging es um die Transformationsformel sowie alternierende Multilinearformen. Davon ist zwar in dieser Aufgabe nicht die Rede, es ist aber nirgends etwas von einem Massraum oder die Frage ob etwas messbar ist, oder Lebesgue definiert oder nicht. Für mich sieht es nach einer Aufgabe aus der Linearen ALgebra aus. Ich kann mich natürlich täuschen.

16.12.2022, 16:59

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Transformationssatz ist es natürlich leichter.

Mit HALs Hinweis kann man bei a) $\begin{eqnarray*} A_n = A \bigcap [n, n+1) \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten. Wenn man zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_2( A_n) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} \lambda_2(A)=0 \end{eqnarray*}$ .

Definiert man nun die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon [n, n+1) \to A_n, x \mapsto (x, x^2) \end{eqnarray*}$ , so kann man den Transformationssatz benutzen, um $\begin{eqnarray*} \lambda_2(A_n) = \lambda_2(f([n,n+1)) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

16.12.2022, 19:16

Samsara

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist da jetzt nicht ein Schönheitsfehler drin die Menge ist = {(x,y) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray*}$ : y = x $\begin{eqnarray*} ^{2} \end{eqnarray*}$ }. Ich muss aber leider sagen, dass ich bis jetzt noch nichts begreife. Vielleicht könnt ihr mir mal eure Lösung für diese Aufgabe vorstellen und erklären. Ich weiß nicht, wie ich zeigen kann, dass A $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} ^{2} \end{eqnarray*}$ bzw. U $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} ^{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} \end{eqnarray*}$ (A)=0 ist bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda_{n} \end{eqnarray*}$ (U) = 0 ist.

17.12.2022, 08:33

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn $\begin{eqnarray*} B^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} B^n \end{eqnarray*}$ und wie ist es definiert?

18.12.2022, 19:17

Samsara

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar ist für mich, wenn bei a) $\begin{eqnarray*} A \in B^{2} \end{eqnarray*}$ , dann ist {(x,y) $\begin{eqnarray*} \in R^{2} \end{eqnarray*}$ : y = $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ } $\begin{eqnarray*} \in B^{2} \end{eqnarray*}$ , dann ist das bei b) analog auch dasselbe.

Mit deinem Hinweis, Beide Mengen sind Borel messbar, weil sie abgeschlossen sind, komme ich schon mal nicht klar, denn so weit ich mich erinnere, ist das Komplement von Borel Mengen abgeschlossen, da es sich immer um offene Mengen handelt. Auch die Antworten von HAL bringen mich hier nicht weiter. leider.

18.12.2022, 19:30

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Borel-Sigma-Algebra ist die kleinste Sigma-Algebra, welche alle offenen Teilmengen enthält. D.h. sie enthält alle offenen Mengen, enthält als Sigma-Algebra aber auch die Komplemente der offenen Mengen. Das sind gerade die abgeschlossenen Mengen. Tatsächlich enthält sie aber auch weitere Mengen. In $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind es z.B. die halboffenen Intervalle wie z.B. $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ , welche weder offen noch abgeschlossen sind.

D.h. wenn eine Menge offen oder abgeschlossen ist, ist sie bereits Borel messbar.

21.12.2022, 09:21

Samsara

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich doch hierzu noch Fragen. Das Intervall [0,1), ist rechts offen und links geschlossen. Durch ein Komplement wird das vertauscht. So weit ich es jetzt verstehe, wird ein Intervall wie die folgenden [0,1], (0,1], (0,1] durch komplement Bildung von offen zu abgeschlossen. Mir ist jetzt nicht klar, außer bei der {} Menge, wie ein Intervall gelichzeitig offen und abgeschlossen ist. Bei der Aufgabe, um die es hier ja geht, ist mir noch immer nicht klar, wie die Überdeckungen konkret funktionieren sollen. Da man diese Aufgabe auch mit der produkt sigma Algebra angeblich lösen kann, was mir ebenfalls noch nicht klar ist, habe ich mich gefragt, wie ich folgendes Produkt mit dieser ALgebra rechnerisch lösen kann.

Angenommen, ich habe auf der x Achse ein Intervall 2-5] und auf der y Achse von 2-4. Dann sind die zur x Achse und zur y Achse offen, unklar jetzt warum und wie ich diese jeweilige halboffenheit genau angeben müsste? Ich muss dann jeweils die sigma Algebren bilden und diese als x also Kreuzprodukt multiplizieren. Da mir nicht klar ist, wie das zu machen ist, dehe ich davon aus, dass ich hier etwas nicht verstanden habe, aber was?

21.12.2022, 09:46

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehmen an du meinst im folgenden die (klassischen) offenen Mengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Samsara
So weit ich es jetzt verstehe, wird ein Intervall wie die folgenden [0,1], (0,1], (0,1] durch komplement Bildung von offen zu abgeschlossen.

Nur $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen und wird durch Komplementbildung offen. Das Konzept "Halboffen", "Links-offen-rechts-abgeschlossen" gibt es nur bei Intervallen. Das Konzept verallgemeinert nicht in höhere Dimensionen oder anderen Mengen.

Zitat:

Original von SamsaraMir ist jetzt nicht klar, außer bei der {} Menge, wie ein Intervall gelichzeitig offen und abgeschlossen ist.

Hier gibt es noch $\begin{eqnarray*} (-\infty, \infty) \end{eqnarray*}$ als einziges Beispiel in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von SamsaraDa man diese Aufgabe auch mit der produkt sigma Algebra angeblich lösen kann, was mir ebenfalls noch nicht klar ist, habe ich mich gefragt, wie ich folgendes Produkt mit dieser ALgebra rechnerisch lösen kann.

Das kann ich mir nur bei b) vorstellen. Der Unterraum kann gesehen werden als $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots \times \mathbb R \times \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ . Bei a) sehe ich keine Anwendung davon. Und es gilt $\begin{eqnarray*} \mathcal B(\mathbb R^n) = \mathcal B(\mathbb R) \times \mathcal B(\mathbb R) \times \ldots \times \mathcal B(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von SamsaraAngenommen, ich habe auf der x Achse ein Intervall 2-5] und auf der y Achse von 2-4. Dann sind die zur x Achse und zur y Achse offen, unklar jetzt warum und wie ich diese jeweilige halboffenheit genau angeben müsste? Ich muss dann jeweils die sigma Algebren bilden und diese als x also Kreuzprodukt multiplizieren. Da mir nicht klar ist, wie das zu machen ist, dehe ich davon aus, dass ich hier etwas nicht verstanden habe, aber was?

Das Konzept von "halboffen" verliert die Bedeutung in höheren Dimensionen. In dem Fall hast du ein Quadrat, wo 2 Seiten offen und 2 Seiten abgeschlossen wären.

28.12.2022, 21:21

Samsara

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe bei dieser Aufgabe nach wie vor ein Problem. Die wurde zwar in einer Übung teilweise vorgerechnet und ich hatte die Hoffnung, da es mir etwas zu schnell ging und die Zeit knapp war, dass ich bei nochmaligem Nachdenken auch Klarheit habe. Ich stelle nun fest, dass ich zum einen noch nicht genügend Übung mit der Transformationsformel habe, denn die Anwendung hier leider bis jetzt?, hinzu kommt, dass ich das mit den Borel Mengen, die abgeschlossen sind nicht verstehe. Weil eigentlich alle Sätze mit : Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine offene Menge beginnen, komme ich hier nicht damit klar, was jetzt mit abgeschlossen gemeint ist.

Und jetzt moch die Produkt $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Algebra. Ich weiß zwar, wie ich ein kartesisches Produkt schreiben muss, aber mir ist nicht klar, wie hier am Ende eine Flächenzahl herauskommen soll, aber vielleich denke ich hier ganz falsch?

Ich hoffe, dass mir ein oder mehrere Hinweise hier wirklich weiterhelfen.

Neue Frage »

Antworten »

Maß- und Integrationstheorie

Verwandte Themen