Konfidenzintervall |
| 16.12.2022, 14:06 | Alfonso32 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Konfidenzintervall In einer Teilaufgabe wird die folgende Frage gestellt: "Wie ändert sich das Konfidenzintervall, wenn statt sigma = 50 nur s = 50 gegeben ist?" Mir ist nicht wirklich klar, was da jetzt genau passieren soll. Ich würde sagen, dass sich nichts am Konfidenzintervall ändert. s ist doch ein Punktschätzer für Sigma. Liege ich mit meiner Vermutung richtig? |
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| 16.12.2022, 18:45 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konfidenzintervall
Dann veröffentliche doch bitte die komplette Original-Aufgabe. Danach wird man sehen, wer wie qualifiziert helfen kann. |
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| 16.12.2022, 19:26 | Alfonso32 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In einer Stichprobenuntersuchung soll für das mittlere Einkommen Alpha von Studenten aus einer Stichprobe vom Umfang n = 25 ein 95%-Konfidenzintervall berechnet werden. Das arithmetische Mittel der Stichprobenwerte beträgt 610 EUR. Es ist bekannt, dass das Einkommen von Studenten näherungsweise normalverteilt ist mit der Standardabweichung Sigma = 50. a) Geben Sie das gesuchte Konfidenzintervall an. Dabei kann auf volle Euro-Beträge gerundet werden. b) Wie wirkt eine Vervierfachung des Stichprobenumfangs auf die Breite des Konfidenzintervalls? c) Ist das 99%-Konfidenzintervall breiter als das in a) berechnete? d) Wie ändert sich das Konfidenzintervall, wenn statt Sigma = 50 nur s = 50 gegeben ist? b-d sollen hierbei anhand einer Begründung gelöst werden. Meine Lösungen: a)(590,40; 529,60) b)Die Breite des Konfidenzintervalls nimmt mit zunehmenden n ab. Die Genauigkeit ist umso höher, je größer der Stichprobenumfang ist. Wird das Konfidenzintervall hier 4x so eng? c)Ein 99%-Konfidenzintervall ist breiter als ein 95%-Konfidenzintervall. Die Breite des Konfidenzintervalls nimmt mit zunehmenden Konfidenzniveau immer weiter zu. d) Das Konfidenzintervall ändert sich nicht, da s eine erwartungstreue Schätzfunktion für Sigma ist. |
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| 16.12.2022, 19:43 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a) Richtig b) Antwortsatz 1 + 2 sind richtig. Fragesatz 3 solltest Du aber selbst durch Überlegung beantworten, denn da Du a) richtig hast, mußt Du dort ja auch die Auswirkung des Stichprobenumfangs auf die Intervallbreite richtig verarbeitet haben. c) Richtig, gleicher Stichprobenumfang vorausgesetzt. d) Ist Dir bekannt, dass bei unbekanntem sigma und dessen Schätzung durch s eine andere Verteilung anzuwenden ist? P.S: Schreibfehler - Bei a) ist die Obergrenze natürlich 629,60. |
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| 16.12.2022, 20:06 | Alfonso32 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Konfidenzintervall ändert sich nicht, da s eine erwartungstreue Schätzfunktion für Sigma ist. Dies gilt jedoch nur sofern Sigma^2 unbekannt und n>30 ist. Falls n<30 wird die sogenannte t-Verteilung auf bzw. im Konfidenzintervall angewandt. |
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| 16.12.2022, 20:13 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Konfidenzintervall Die Grenze 30 kann ich auch bestätigen. Wie wirkt sich hier der Wechsel zur t-Verteilung aus? |
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| 16.12.2022, 20:32 | Alfonso32 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entspricht die t-Verteilung im Wert 30 genau der z-Verteilung? Ich bin ehrlich gesagt überfragt. 
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| 16.12.2022, 20:42 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch das kannst Du selbst beantworten: 1) Löse zuerst die aktuelle Aufgabe d) mit der t-Verteilung unter Berücksichtigung der Freiheitsgrade. 2) Vergleiche dann die Quantile der z-Verteilung mit der t-Verteilung für n=30 oder 31. |
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| 16.12.2022, 21:13 | Alfonso32 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Quantile der z-Verteilung haben sich von den Quantilen der t-Verteilung für n=30 unterschieden, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Also ist meine Vermutung falsch. |
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| 16.12.2022, 21:41 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es wäre auch sehr seltsam gewesen, wenn die beiden Verteilungen nur für oder ab n=30 identisch wären. Jedenfalls ist d) immer noch nicht abschließend beantwortet. |
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| 17.12.2022, 08:51 | Alfonso32 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage verwirrt mich immer mehr.
Antwort: Die Frage "d) Wie ändert sich das Konfidenzintervall, wenn statt Sigma = 50 nur s = 50 gegeben ist?" lässt sich nicht eindeutig klären, da dies vom Stichprobenumfang abhängig ist. n<31 Die z-Verteilung für Sigma=50 und die t-Verteilung für s=50 liefern unterschiedliche Konfidenzintervalle. n>30: Ab einem n>30 kann man bei der t-Verteilung approximativ von der z-Verteilung ausgehen, sodass sich keine Änderungen innerhalb des Konfidenzintervalls ergeben. Da s zudem ein erwartungstreuer Schätzer für Sigma ist, ergibt sich beim Einsetzten von s in die z-Verteilung ein approximatives Konfidenzintervall. Es ist somit für unerheblich, ob von s=50 oder Sigma=50 ausgegangen wird. Wäre dies die vollständige Antwort? |
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| 17.12.2022, 11:03 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was Du schreibst, ist zwar richtig, Du scheust nur Dich auf eine klare Antwort festzulegen. Nach meinem Verständnis soll hier unter sonst gleichen Bedingungen, insbesondere n=25, letztlich das konkrete Konfidenzintervall angegeben werden, wenn man s statt sigma benutzen müßte. Dabei wäre dann zu erwähnen, dass man solchenfalls für n<30 die t-Verteilung benutzen würde. Entscheidend somit:
Und diese Grenzen des t-Konfidenzintervalls sind jetzt anhand der richtigen Quantile und richtigen Freiheitsgrade auszurechnen. |
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| 17.12.2022, 11:24 | Alfonso32 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man die Frage aus Teilaufgabe d) direkt auf die Informationen aus Teilaufgabe a) bezieht, ist natürlich die von ihnen zitierte Aussage gefragt. Ich hatte die Aufgabe so verstanden, dass man die Frage allgemeingültig beantworten soll. Dann wäre meine letzte Antwort wohl richtig. Es sollte ja nichts konkret berechnet werden. |
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| 17.12.2022, 11:48 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun ja, das ist auslegungsfähig. Ich hätte es vorgezogen, dem Prüfer eine handfeste und richtige Rechnung mit Begründung vorzulegen. Sollte sich herausstellen, dass man die Frage falsch verstanden hat, bleibt trotzdem die Möglichkeit nachzubessern erhalten, aber es macht vielleicht einen besseren Eindruck, als wenn man von vorherein einer Lösung ausweicht. |
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