Zweimal stetig differenzierbare Reihe

16.12.2022, 16:38

GeneralIroh

Zweimal stetig differenzierbare Reihe

Meine Frage:
Hi, ich habe folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray*} \Psi\in C(\lbrack \pi,\pi\rbrack;\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ gegeben durch die konvergente Reihe $\begin{eqnarray*} \Psi(\varphi)=\sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k e^{ik\varphi} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} u:B_1(0)\to\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} u(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k r^{|k|}e^{ik\varphi} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r\in\lbrack 0,1\rbrack \end{eqnarray*}$ konvergiert, $\begin{eqnarray*} u\in C^2(B_1(0);\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ eine Lösung ist von $\begin{eqnarray*} \Delta u(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x^2+y^2<1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also Reihen wurden bei uns in Ana 1 über den natürlichen Zahlen eingeführt. Da diese Reihe über den ganzen Zahlen ist, war mein erster Gedanke, dass die Reihe für jede Abzählung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ den gleichen Grenzwert haben muss, damit sie wohldefiniert ist, woraus folgen müsste, dass sie absolut konvergent ist. Mit dem Majorantenkriterium würde dann die Konvergenz folgen. Ich weiß aber leider nicht wie ich zeigen kann, dass sie zweimal stetig differenzierbar ist. Die DGL wollte ich mit $\begin{eqnarray*} \partial_x^2+\partial_y^2=1/r\partial_r r\partial_r+1/r^2\partial_{\varphi}^2 \end{eqnarray*}$ zeigen. Das funktioniert auch, aber ich müsste noch begründen, warum ich $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ und die Summe vertauschen darf. Danke für eure Hilfe!

16.12.2022, 22:31

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zweimal stetig differenzierbare Reihe

Zitat:

Original von GeneralIroh
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} u:B_1(0)\to\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} u(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k r^{|k|}e^{ik\varphi} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r\in\lbrack 0,1\rbrack \end{eqnarray*}$ konvergiert, $\begin{eqnarray*} u\in C^2(B_1(0);\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ eine Lösung ist von $\begin{eqnarray*} \Delta u(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x^2+y^2<1 \end{eqnarray*}$ .

Anscheinend gilt doch $\begin{eqnarray*} x = r \cos\varphi \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y = r\sin\varphi \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0 \le r < 1 \end{eqnarray*}$ D.h. $\begin{eqnarray*} r\in [0,1) \end{eqnarray*}$

Ich schätze mal, daß für den Fall $\begin{eqnarray*} r = 1 \end{eqnarray*}$ die Summe ohne weitere Voraussetzungen für $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ nicht konvergieren muß.
Für $\begin{eqnarray*} r < 1 \end{eqnarray*}$ und Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ wird das Abschätzen einfach:

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k r^{|k|}e^{ik\varphi}\right| \le \sum_{k\in\mathbb{Z}}|c_k| \left|r^{|k|}\right| \left| e^{ik\varphi}\right| \le\frac{\sup |c_k|}{1-r} \end{eqnarray*}$

Im Übrigen ist die zweifache stetige Differenzierbarkeit doch gar nicht zu zeigen.
Außerdem gilt: Wenn der Laplace-Operator auf eine Summe losgelassen wird, ist dieser auf jeden einzelnen Summanden anzuwenden.

17.12.2022, 10:17

GeneralIroh

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort! müsste in der Abschätzung im Zähler nicht noch eine 2 stehen, weil man über den ganzen Zahlen summiert? Und die Beschränktheit der $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ müsste doch aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \Psi(0) \end{eqnarray*}$ folgen oder? Und warum ist zweimal stetige Differenzierbarkeit nicht zu zeigen? In der Aufgabenstellung steht explizit, dass man $\begin{eqnarray*} u\in C^2 \end{eqnarray*}$ zeigen soll.
Also warum man bei einer endlichen Summe den Laplace-Operator und die Summe vertauschen kann, ist klar, aber muss man das für eine Funktionenreihe nicht noch begründen?

17.12.2022, 11:13

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abschätzung von Ulrich ist gut und bis auf den Faktor 2 korrekt, aber du hast Recht, man musst etwas vorsichtiger sein.

Es gibt ein schönes Lemma was sich bei so Situationen anbietet:
Sei $\begin{eqnarray*} O\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ offen und $\begin{eqnarray*} f_k \colon O \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig-differenzierbar, so dass $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k \in \mathbb Z} f_k(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \sum_{k \in \mathbb Z} f_k'(x) \end{eqnarray*}$ existieren.

Konvergieren die Reihen von $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ beide lokal-gleichmäßig, dann ist $\begin{eqnarray*} f \in C^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x) = g(x) \end{eqnarray*}$ .

Entsprechende Versionen gelten auch fürs Mehrdimensionale.

17.12.2022, 18:10

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Die Abschätzung von Ulrich ist gut und bis auf den Faktor 2 korrekt, aber du hast Recht, man musst etwas vorsichtiger sein.

Na gut! Wenn ich das ganze als Doppelsumme betrachte, hätte ich wohl besser

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k r^{|k|}e^{ik\varphi}\right| \le \sum_{k\in\mathbb{Z}}|c_k| \left|r^{|k|}\right| \underbrace{\left| e^{ik\varphi}\right|}_{1} \le\frac{2\sup |c_k|}{1-r}-|c_0| \end{eqnarray*}$

schreiben sollen.

17.12.2022, 18:23

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

@Ulrich Sorry, da war ich etwas unsauber in meiner Formulierung. Die Abschätzung war auch vorher sauber und von der Idee etwas, was man auch später noch braucht. Was ich mit vorsichtiger meinte, war bzgl. Differenzierbarkeit und Ableitung sowie Reihe vertauschen. Dort gibt es Gegenbeispiele, wo man die nicht vertauschen darf. Darauf bezog sich dann auch der ganze Rest, den ich geschrieben habe.

Edit: Mit sauber meine ich vom Prinzip richtig, bloss wegen der Indexmenge eben er Faktor 2.

Neue Frage »

Antworten »

Zweimal stetig differenzierbare Reihe

Verwandte Themen