Wurzelgesetz - indirekter Beweis |
16.12.2022, 18:50 | Jolly Jumper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wurzelgesetz - indirekter Beweis Hallo zusammen, ich hab versucht zu beweisen, daß die Quadratwurzel aus der Summe (a + b), also (a + b)^1/2 ungleich der Summe der Quadratwurzeln aus den Einzelsummanden (also a^1/2 + b^1/2) ist. Dazu versuche ich einen indirekten Beweis, d.h. ich gehe von der Richtigkeit der Gleichung (a + b)^1/2 = a^1/2 + b^1/2 aus. Könntet Ihr mir bitte weiterhelfen, indem Ihr mir sagt, ob mein Beweis richtig oder falsch ist? Ich bin mir hier nämlich ziemlich unsicher Vielen Dank Meine Ideen: Behauptung: (a + b)^1/2 ist ungleich a^1/2 + b^1/2 Beweis: (a + b)^1/2 = a^1/2 + b^1/2 Gleichung (I) Gleichung quadrieren, es ergeben sich auf beiden Gleichungsseiten Beträge: |a + b| = (a^1/2 + b^1/2)^2 = |a| + 2 * a^1/2 * b^1/2 + |b| Die linke Gleichungsseite kann umgeschrieben werden zu |a| + |b| : |a| + |b| = |a| + 2 * a^1/2 * b^1/2 + |b| auf beiden Gleichungsseiten |a| + |b| subtrahieren: 0 = 2 * a^1/2 * b^1/2 Da diese Gleichung falsch ist und sie aus Gleichung (I) folgt, muß auch Gleichung (I) falsch sein. Somit ist bewiesen, daß (a + b)^1/2 ist ungleich a^1/2 + b^1/2 |
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16.12.2022, 19:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du musst für a, b zusätzliche Bedingungen stellen - oder Fallunterscheidungen machen. Insbesondere ist |a + b| nicht immer |a| + |b| Wenn du allerdings a, b positiv und ungleich Null voraussetzt, dann stimmt offensichtlich dein Beweis. Anmerkung: Ein indirekter Beweis ist auch dann schon geführt, wenn du ein einziges Beispiel findest, welches zum Widerspruch führt. Teste mal mit a = 16 und b = 9 mY+ |
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16.12.2022, 19:17 | JollyJumper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo mYthos, vielen Dank für Deine Antwort Stimmt, das hatte ich gar nicht bedacht: Wenn a und b gleich 0 sind, dann ist mein Beweis falsch Du hast mir sehr geholfen Ich wünsch Dir ein schönes Wochenende |
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16.12.2022, 19:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dir ebenfalls. ---------- Noch ein Zusatz: Wenn sich das Ganze im rellen Zahlenbereich abspielen soll, sollten die Zahlen a, b schon deshalb positiv sein, weil ansonsten die Wurzeln imaginär sind. (Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist nicht reell) Im Weiteren gelangt man dann in den Bereich der komplexen Zahlen. mY+ |
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16.12.2022, 20:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Jolly Jumper Warum du Beträge ins Spiel bringst, verstehe ich nicht. Das ist hier überflüssig und trägt eher zur Verwirrung als zur Erhellung bei. Du mußt sowieso von vorneherein voraussetzen, weil sonst oder gar nicht definiert wären. mYthos hat darauf hingewiesen. Dann erhält man aus durch Quadrieren in der Tat: und somit . Aus der letzten Gleichung folgert man oder . Und in der Tat stimmt für diesen Fall. |
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17.12.2022, 12:43 | Jolli Jumper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Ihr 2, vielen lieben Dank für Eure sehr ausführlichen und erhellenden Antworten! Da habt Ihr mir riesig geholfen Ich hätte erkennen müssen, daß: 1) a und b nicht < 0 sein dürfen (wegen der Quadratwurzeln) 2) für den Fall a = 0 und / oder b = 0 die Gleichung richtig und mein Beweis dann falsch ist Zu Leopold´s Frage, wieso ich die Beträge schreibe: Ich hatte in einem Mathebuch gelesen (wenn ich mich richtig erinnere), daß der Betrag einer reellen Zahl x gleich der Quadratwurzel aus x^2 ist: |x| = (x^2)^1/2 = (x^1/2)^2 Und weil ich die Gleichung (I) quadriere, werden dabei Quadratwurzeln quadriert: ((a + b)^1/2 )^2 und (a^1/2)^2 und (b^1/2)^2 Deshalb dachte ich, daß es sich bei ((a + b)^1/2 )^2 um den Betrag von a + b handelt, ebenso wie bei (a^1/2)^2 um den Betrag von a und bei (b^1/2)^2 um den Betrag von b. Und deshalb dachte ich dann auch, daß ich einen Fehler mache, wenn ich die Betragsstriche weglasse. Da ich noch ein absolutes Greenhorn in Mathematik bin und das Beweisen üben möchte, versuche ich einen direkten Beweis zur selben Behauptung. Ich stelle ihn in das Forum, wenn er fertig ist Viele Grüße |
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17.12.2022, 13:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist in dieser Allgemeinheit nicht korrekt. stimmt für alle reellen . Man kann die Fälle und unterscheiden. Im Fall darf man schreiben: Im Fall darf man schreiben: Dagegen stimmt nur für . Denn ansonsten ist gar nicht definiert. Wenn aber sowieso ist, sind Betragsstriche wiederum überflüssig, so daß man besser gleich schreibt: für alle reellen Man sollte da schon sorgfältig vorgehen und nicht alles zu einem ungenießbaren Brei zusammenrühren.
Teilweise fehl-, teilweise überinterpretiert. Siehe meine Erklärungen. |
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17.12.2022, 15:21 | JollliJumper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Leopold, vielen Dank für den Hinweis, daß |x| = (x^1/2)^2 nur für x größer gleich 0 gilt bzw. daß der Term (x^1/2)^2 überhaupt nur für x größer gleich 0 definiert ist. Mir waren die beiden Fallunterscheidungen (einmal x größer gleich 0 und einmal x kleiner gleich 0) vorher nicht bewußt. Und deshalb war mir auch der wichtige Unterschied nicht bewußt, daß |x| = (x^2)^1/2 für alle reellen x gillt, während das bei (x^1/2)^2 nicht so ist Das hat mir Deine rote Markierung in der Zeile |x| = (x^2)^1/2 = (x^1/2)^2 nochmals klar gemacht Es wird bei mir wohl noch etwas dauern, bis ich einen Blick für solche Fallunterscheidungen bekomme Ich hoffe, daß ich bei meinem direkten Beweis keine solchen Fehler mache: Behauptung: Für alle a, b aus der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen gilt: (a + b)^1/2 ist ungleich a^1/2 + b^1/2 Beweis: Ich verwende für den direkten Beweis die Definition von Quadratwurzeln aus Wikipedia Zitat: "Die Quadratwurzel (...) einer nichtnegativen Zahl y ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl y ist." D.h. die Quadratwurzel aus (a + b) ist die nichtnegative Zahl, die - quadriert - (a + b) ergibt Da aber der Term (a^1/2 + b^1/2) - quadriert - nicht a + b ergibt, sondern wegen der 1. Binomischen Formel den Term a + 2 * a^1/2 * b^1/2 + b ergibt und für alle nichtnegativen a und b a + 2 * a^1/2 * b^1/2 + b ungleich a + b ist kann (a + b)^1/2 auch nicht gleich a^1/2 + b^1/2 sein was zu beweisen war |
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17.12.2022, 15:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dies ist falsch. Der folgende Beweis kann daher nicht richtig sein. Das Problem ist deine Verwendung des sogenannten All-Quantors "für alle". Nimmt man zum Beispiel und , so gilt sehr wohl . (Du solltest deine Formeln mit Latex schreiben. Bei einem Gast drücken wir gerne mal ein Auge zu, wenn das nicht der Fall ist. Gäste, die länger bleiben, sollten sich den Gepflogenheiten anpassen. Die ersten Schritte kann man mit dem hauseigenen Formeleditor machen.) |
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17.12.2022, 17:02 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Den "direkten Beweis" hat doch schon Leopold gebracht. Er liegt darin, dass deine ursprüngliche Aussage nur für a=0 oder b=0 richtig ist.. |
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17.12.2022, 18:59 | Jollyjumper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Leopold und Luftikus, wenn ich Euch richtig verstanden habe, dann war mein Fehler in meinem letzten Beitrag mein Satz: "Für alle a, b aus der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen gilt..." Zu den nichtnegativen reellen Zahlen gehört auch die Null Ich hätte statt "... Menge der nichtnegativen reellen Zahlen..." schreiben müssen: "...Menge aller Zahlen größer 0 ..." d.h. die Null muß ausgeschlossen werden, wie Leopold in seinem Bsp. auch schreibt Ich hoffe, daß nun alle meine Fehler im direkten Beweis damit behoben sind? Mit Latex habe ich leider Schwierigkeiten, denn ich bin nicht nur ein Mathe-Greenhorn, sondern erst Recht ein IT-Greenhorn: Ich habe z.B. versucht, in Latex zu schreiben: a größer gleich b, aber nur in der Vorschau erscheint dann die gewünschte Formel, hier im Textfeld nicht: Ich wünsche Euch einen schönen Samstagabend |
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17.12.2022, 19:01 | JoliJumper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Entschuldigt bitte, es hat ja doch mit meinen ersten Latex-Versuchen geklappt und die Formel wurde wie gewünscht wieder gegeben |
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