Annulator Dualraum

17.12.2022, 09:41	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Annulator Dualraum Meine Frage: Man soll den Annulator vom Unterraum $\begin{eqnarray} U=\left\{ L(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}) \right\}\subseteq V \end{eqnarray}$ bestimmen, wobei L die lineare Hülle ist. Ich nehme die Elemente des des Bidualraums als Zeilenvektoren an, mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a+b \\ -b\\a\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erhalte ich die Gleichung $\begin{eqnarray} x(a+b)-yb+az=0 \end{eqnarray}$ . Aber wie geht es nun weiter? Man will ja alle x,y,z finden, die die Gleichung erfüllen Meine Ideen:* ?
17.12.2022, 10:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Annulator Dualraum $\begin{eqnarray} x(a+b)-yb+az=0 \end{eqnarray}$ heißt noch nichts anderes als $\begin{eqnarray} (x+z)a+(x-y)b=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$
17.12.2022, 10:48	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe auch gesehen, dass alle Lösungen der Form $\begin{eqnarray} x=y=-z \end{eqnarray}$ die Bedingung erfüllen, aber sind das wirklich alle Lösungen?
17.12.2022, 11:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Jedes Element des Annulators muss notwendigerweise $\begin{eqnarray} x=y=-z \end{eqnarray}$ erfüllen. Um das einzusehen, muss man nur a=1,b=0 bzw. umgekehrt a=0, b=1 einsetzen. Man kann sich höchstens noch überlegen, ob man damit zu viel des Guten hat. Also: Gehören alle Elemente des Dualraums, die $\begin{eqnarray} x=y=-z \end{eqnarray}$ erfüllen, auch zum Annulator? Man kann sich auch folgendes überlegen: Im Grunde suchst man den Orthogonalraum zum zweidimensionalen Unterraum U. Das muss ein eindimensionaler Unterraum sein. Die gefundenen Lösungen bilden einen eindimensionalen Unterraum. Was soll da noch fehlen?

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