Richtigkeit einer Gleichung zeigen

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MoinMathe Auf diesen Beitrag antworten »
Richtigkeit einer Gleichung zeigen
Meine Frage:
Ich soll zeigen, dass die Gleichung (x^n - y^n)/(x-y) = sum(x^k×y^n-1-k) von k=0 bis n-1 gilt, für x=/=y, n ist natürliche Zahl.

Mit meinen Versuchen bin ich leider nicht sehr weit gekommen, deshalb wollte ich einmal fragen, ob der richtige Ansatz schon dabei ist, oder ob ich auf einem ganz falschen Weg bin?

Meine Ideen:
Mein erster Versuch war es, die Summe aufzuschreiben und die entstandenen Brüche zusammenzurechnen. Beim Erweitern wurde dies allerdings unglaublich kompliziert, weshalb ich mir unsicher war, ob dies der richtige Weg ist.

Mein zweiter Versuche ist ein Beweis durch Induktion, hier komme ich beim Induktionsschritt leider nicht weiter.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung Analysis zeigen
Es geht wohl am besten über die geometrische Summenformel.

Damit man es lesen kann:
mathe-moin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung Analysis zeigen
So steht die Gleichung auch in der Aufgabe

Ich habe die geometrische Summenformwl jetzt auch im Skript gefunden, versuche ich dann, es als x^n - y^n = ... umzuformen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal ist es nur eine Kleinigkeit. Untersuche den Term:



Schreib dir das einmal konkret für ein kleines , zum Beispiel oder , hin und multipliziere aus. Mehr ist das nicht. Für kennst du das als dritte binomische Formel.
mathe-moin Auf diesen Beitrag antworten »

Da hätte ich ja auch mal draufkommen können Hammer
Danke! Freude
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung Analysis zeigen
Zitat:
Original von mathe-moin
versuche ich dann, es als x^n - y^n = ... umzuformen?

Falls Du noch dran arbeitest und diesen Weg probieren willst:
Mit der Summenformel läßt sich

direkt in

überführen.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ klauss

Das Ziel der Aufgabe, so scheint mir, ist doch gerade der Beweis dieser "Summenformel" und nicht ihre Anwendung. Insofern weiß ich nicht, worauf du hinauswillst.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung Analysis zeigen
@Leopold:
Gerne zerre ich zur Auflockerung eines kalten Winterabends eine kleine Diskussion herbei.

Falls es sich um ein Mißverständnis handelte:
Mit "Summenformel" in meinem letzten Beitrag meinte ich die geometrische, nicht die zu zeigende aus der Aufgabe.
Falls das zur Aufklärung nicht genügt:
In der Aufgabe lese ich, dass
- die Gleichheit der beiden Seiten zu zeigen ist;
- der Fragesteller über die Methode dazu noch kein klares Konzept hat.
Also zeige ich die Gleichheit, indem ich die gegebene Summe durch Zurückführung auf eine geometrische Summe direkt in die linke Seite umforme.
Du hast anscheinend nur den Nenner des Bruchs rübergezogen und dann soll wohl durch Ausmultiplizieren rechts der Rest von links rauskommen.
Besteht zwischen diesen Wegen ein Äquivalenzproblem?
Dann kann ich alternativ auch vollständige Induktion empfehlen, falls der Fragesteller das noch nachholen will.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Einerseits ist die geometrische Summe nur der Spezialfall der hier zu beweisenden Formel. Andererseits kann man aus der geometrischen Summe durch Substitution von durch auch den allgemeinen Fall zurückerhalten. Insofern besteht hier eine Äquivalenz.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Insofern besteht hier eine Äquivalenz.

Okay .....

Zitat:

Dieser Spezialfall steht auch nicht auf meinem Blatt, daher dürfte es nicht anrüchig sein, eine bewiesene allgemeine Formel für eine neue allgemeine Formel zu nutzen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klauss
Dieser Spezialfall steht auch nicht auf meinem Blatt


Verstehe ich nicht.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte die blumige Audrucksweise zu entschuldigen. Soll heißen: In den schriftlichen Aufzeichnungen, die ich vor meinem ersten Beitrag in dieser Sache angefertigt habe, erscheint dieser Spezialfall nicht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann weiß ich nicht, von was für einer geometrischen Summenformel du sprichst.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »


Ich habe eben nur nicht speziell, sondern allgemein gerechnet.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Manchmal ist es nur eine Kleinigkeit. Untersuche den Term:



Dieser Ratschlag von Leopold ist doch einfach viel zu gut, um ihn nicht zu befolgen.



Damit ist das Gewünschte doch gezeigt. Blumen
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch nie behauptet, dass Leopolds Weg nicht gangbar ist.
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