Transformation und Faltung einer Zufallsvariable

18.12.2022, 00:06

Pinahoo2006

Transformation und Faltung einer Zufallsvariable

Meine Frage:
(a) Es sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_{X}(x)=\frac{1}{2}\mathbb{ 1}\{0 \leq x \leq 2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_{Y}(y)=\frac{y}{2} \mathbb{1}\{0 \leq y \leq 2\} \end{eqnarray*}$ . Die beiden Zufallsvariablen seien unabhängig. Welche Verteilung hat die Summe $\begin{eqnarray*} Z=X+Y \end{eqnarray*}$ ?

(b)Es sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine laplace-verteilte Zufallsvariable mit Lageparameter $\begin{eqnarray*} \mu \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und Skalenparameter $\begin{eqnarray*} \sigma>0 \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ hat die Dichte
$\begin{eqnarray*} f_{X}(x)=\frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x-\mu|}{\sigma}}, \quad x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Es gelte $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Welche Verteilung hat die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Z=a X+b \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Ich bin total ratlos.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir hier im Forum jemand auf die Sprünge helfen kann!

18.12.2022, 10:02

HAL 9000

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Zu (a) Berechne die Faltungsdichte $\begin{eqnarray*} f_Z(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y)f_Y(y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$ :

Da $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ offenbar nur Werte im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,4] \end{eqnarray*}$ annehmen kann, ist die Dichte außerhalb dieses Intervall gleich Null. Außerdem erweist es sich in der Berechnung als sinnvoll, die beiden Fälle $\begin{eqnarray*} z\in [0,2] \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} z\in (2,4] \end{eqnarray*}$ zu unterscheiden.

Zu (b) Kennst du den Transformationssatz? Falls nicht, kann man die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ auch ganz konventionell über deren Verteilungsfunktion herleiten:

Es ist $\begin{eqnarray*} F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(aX+b\leq z) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ bedeutet das weiter $\begin{eqnarray*} F_Z(z) = P\left(X\leq \frac{z-b}{a}\right) = F_X\left(\frac{z-b}{a}\right) \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ hingegen $\begin{eqnarray*} F_Z(z) = P\left(X\geq \frac{z-b}{a}\right) \stackrel{!}{=} P\left(X>\frac{z-b}{a}\right) = 1-F_X\left(\frac{z-b}{a}\right) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$ aus der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ folgt. Die Dichte folgt nun in beiden Fällen durch Ableitung nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

18.12.2022, 22:16

Pinahoo2006

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Zitat:

Original von HAL 9000
Zu (a) Berechne die Faltungsdichte $\begin{eqnarray*} f_Z(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y)f_Y(y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$ :

Da $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ offenbar nur Werte im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,4] \end{eqnarray*}$ annehmen kann, ist die Dichte außerhalb dieses Intervall gleich Null. Außerdem erweist es sich in der Berechnung als sinnvoll, die beiden Fälle $\begin{eqnarray*} z\in [0,2] \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} z\in (2,4] \end{eqnarray*}$ zu unterscheiden.

Vielen Dank! Das hilft mir schon sehr. Aber woher weiß ich denn, dass $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ nur Werte zwischen 0 und 4 annehmen kann?

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