Lemma von Fatou für Integrale

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18.12.2022, 13:46	Eve-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Lemma von Fatou für Integrale Meine Frage: Hey ich hätte mal eine Verständnisfrage zum Lemma von Fatou. In meinem Skript lautet das Lemma: Sei $\begin{eqnarray} (X, A, \mu) \end{eqnarray}$ ein Maßraum und $\begin{eqnarray} f_k: X \to [0,\infty] \end{eqnarray}$ eine Folge von nicht negativen messbaren Funktionen. So gilt $\begin{eqnarray} \int \liminf\limits_{k \to \infty} f_k d \mu \le \liminf\limits_{k \to \infty} \int f_k d \mu \end{eqnarray}$ Der Beweis in meinem Skript ist ähnlich zum Beweis auf dieser Seite: https://www.math3ma.com/blog/fatous-lemma Jetzt zu meiner Frage: Wieo wird eine Folge von nicht negativen Funktionen vorrausgesezt? Bzw. was genau geht im Beweis schief wenn man auch negative Funktionen zulässst? Meine Ideen: Habe leider keine Idee was schiefgeht. Habe mir auch mehrer andere Beweise angesehen nur verstehe ich nicht was genau schief geht, da man ja eigentlich nur mit der Monotonie des Integrals und mit dem Satz von Beppo Levi arbeitet. Keiner davon setzt nicht negative Funktionen vorraus.
18.12.2022, 14:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lemma von Fatou für Integrale Ich kenne den Satz von der monotonen Konvergenz nur für Folgen nichtnegativer Funktionen. Wer sagt, dass es ohne diese Voraussetzung geht?
18.12.2022, 18:15	Eve-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm in meinem Skript steht nur dass die Fuktionen integrierbar sein müssen. Auf Wikipedia steht aber auch der Satzt von der monotonen Konvergenz mit der Bedingung, dass die Funktionenfolge nicht negativ sein soll. Wobei ich beim näheren Betrachten sehen dass wir Integrierbarkeit zunächst nur für nicht negative Funktionen definiert haben aber später auch alle Funktionen zugelassen werden. Das Skript verwirrt mich da etwas.
18.12.2022, 19:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Verwirrung durch dein Skript kann ich dir nicht helfen. Vielleicht kann es der Autor. Klar ist aber, dass das Lemma von Fatou nicht gilt, wenn man auf die Nichtnegativität verzichtet. Ein Gegenbeispiel findet man schon im Wiki-Artikel dazu
19.12.2022, 14:05	Eve-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Das der Satz über monotone Konvergenz nur für nicht negative Funktionen gilt ist hat meine Frage bereits beantwortet danke dafür! Ich wollte mich nur irgendwo über mein verwirrendes Skript auslassen .
19.12.2022, 14:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann Nicht-negativität fordern, oder man kann Integrierbarkeit fordern (sogar etwas schwächer: der negative Anteil muss integrierbar sein, s. StackExchange.) Für beide gilt der Satz. Das folgt direkt als Korollar aus Beppo-Levi mit Nicht-negativität.
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19.12.2022, 15:17	Eve-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich es dann richtig, dass $\begin{eqnarray} f_k > -\infty \end{eqnarray}$ für alle k ausreichen würde?
19.12.2022, 15:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Der negative Anteil muss integrierbar sein. D.h. $\begin{eqnarray} \int (f_k)^{-} < \infty \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} (f_k)^{-} = \max\{ 0, -f_k \} \end{eqnarray}$ .
19.12.2022, 15:36	Eve-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay. Würde es dann bei meiner Anfangsfrage ausreichen wenn man anstatt der Bedingung, dass die Funktionen nichtnegativ sind, vorraussetzt dass der Negativteil aller Funktionen integrierbar ist?
19.12.2022, 16:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Es reicht sogar, dass der Negativteil "irgendeiner" Funktion integrierbar ist. Dank Monotonie sind nämlich alle Negativteile der weiteren Funktionen in der Folge integrierbar.

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