Optimierungsaufgabe

18.12.2022, 19:47	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe Hallo Mathemenschen! Keine Ahnung wie man das angeht... Gruß, eure HiBee
18.12.2022, 23:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Bild ist unvollständig. mY+
19.12.2022, 18:46	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer a sagt muss auch b sagen. Wollte euch nicht auf einmal alles zumuten, aber dann entscheidet halt selbst...
19.12.2022, 20:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@HiBee Es gibt nicht um Aufgaben b),c). Die Aufgabe a) war nicht vollständig im ersten Bild zu sehen. Zur Aufgabe a): Direkte Methode der Variationsrechnung. Zeige, i) $\begin{eqnarray} f(x) = \frac 1 2 \\| Ax - b\\|^2 + c^T x \end{eqnarray}$ ist nach unten beschränkt. Man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(x) \geq \epsilon \\|x\\|^2 - L \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ klein genug und $\begin{eqnarray} L > 0 \end{eqnarray}$ groß genug. ii) Damit ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nach unten beschränkt und mit $\begin{eqnarray} f \to \infty \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} \\|x\\| \to \infty \end{eqnarray}$ wird das Minimum irgendwo auf einem Kompaktum angenommen. iii) Eindeutigkeit... Ich vermute es geht über Widerspruch: Seien $\begin{eqnarray} x_1, x_2 \end{eqnarray}$ zwei Minimierer. Betrachte $\begin{eqnarray} x = \lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 \end{eqnarray}$ . Für geeingete Wahl von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ sollte $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein "besserer" Minimierer sein.
19.12.2022, 21:09	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke für die Beweisskizze. Also das mit dem Widerspruch hab ich auch vermutet... aber leider einfach kein Gegenbeispiel gefunden. wo ichs jetzt schonmal gepostet habe... Ich denke b) ist einfach nur einsetzen und bei c) ist die Beweisskizze ja schon gegeben, richtig? Ich versteh nur nicht welches Dreieckssystem ich da lösen soll...
20.12.2022, 09:35	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habs jetzt mit ableitungen gemacht...
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20.12.2022, 10:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre sogar mein Vorschlag jetzt gewesen. Bei einem Minimum hat eine differenzierbaren Funktion Ableitung 0. Und davon sollte es nur eine Stelle hier geben Alternativ sollte die Funktion strikt-konvex sein (über zweite Ableitung beweisbar). Über die erste Ableitung kriegt man die "explizite" Darstellun des Minimierers, ich schätze das braucht man dann für c).

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