Integral berechnen

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Samsara Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen
Sei A = {(x,y) : x+ < 2}. Berechnen Sie

I = |3x + 4y| d.


Hinweis: Transformationsformel mit = . Bei der anderen Aufgabe habe ich noch einen zusätlichen Hinweis von einem Betreuer der Fernuni bekommen, so dass ich jetzt hoffentlich damit weiiter komme.

Auch hier wäre es für mich gut einen Hinweis oder Tipp zu bekommen, denn hier stehe ich leider auch erstmal auf dem Schlauch.
Samsara Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral berechnen
Es handelt sich um ein Integral aus Analysis 3 mit dem Hinweis auf die Transformationsformel und das ganze sieht schon etwas hammermäßig aus, finde ich wenigstens.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral berechnen
Zitat:
Original von Samsara
Sei A = {(x,y) : x+ < 2}. Berechnen Sie

I = |3x + 4y| d.

Hinweis: Transformationsformel mit = . Bei der anderen Aufgabe habe

Das Integral sollte zumindest erst einmal durch und transformiert werden.
Dann würde ich die Grenzen von u und v bestimmen und auf Polarkoordinaten übergehen. Den Vorzeichenwechsel des Integranten löst man am besten durch die Aufteilung in zwei Integrale.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral berechnen
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau

... und auf Polarkoordinaten übergehen.


Nicht nötig.

EDIT

Die wichtigsten Wegmarken zur Kontrolle ( wie bei Ulrich Ruhnau):


Samsara Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral berechnen
Danke für die Antworten. Mein Problem besteht jetzt allerdings in der Anwendung der Transformationsformel.
Soweit ich weiß, besteht diese Formel ja auch aus einem Diffeomorphismus. Ich habe mir zwar eine Erklärung auf Youtube angeschaut und auch um Skript nachgesehen. Was ich weiß ist, dass es um eine Vereinfachung des Integrals geht und ich auch die Jakobi Matrix anwenden muß, aber ich schaffe es nicht, dass auf diese Aufgabe anzuwenden.

Bei dem Integral sind mir auch die Betragsstriche nicht klar, das kann sein, weil unklar ist, ob + oder - ?.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst solltest du dir klarmachen, daß es sich bei der vorgeschlagenen Transformation um eine lineare Abbildung handelt. Man könnte das so schreiben:



Offenbar bilden die Spaltenvektoren eine Orthonormalbasis des (Pythagoras läßt grüßen: ). Die Determinante der Matrix ist 1, womit eine Drehung festgelegt wird. Damit liegen optimale Bedingungen vor: Umkehrbarkeit der Abbildung, Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung, alles gegeben. Die Umkehrabbildung ist



Ihre Determinante ist zugleich die Determinante der Jacobi-Matrix:



Die Transformationsformel sagt, daß beim Übergang von -Koordinaten zu -Koordinaten mit dieser Determinante zu multiplizieren ist. Die Multiplikation mit 1 ist sozusagen ohne Wirkung.

Da es sich bei um eine Drehung um den Nullpunkt handelt, geht der Kreis in den Kreis über. Das ergibt sich aber auch ganz von alleine, wenn man gemäß der Abbildungsvorschrift substituiert:



Und so geht nun die Anwendung der Transformationsformel:



Um den neuen Integranden zu bestimmen, mußt du in die Variablen und durch ihre Ausdrücke in substituieren. Daß da Betragsstriche stehen, ist schlicht beim Funktionsausdruck vorgegeben. Ein Zusammenhang mit der Transformationsformel besteht nicht.
Ich mag die Bezeichnung überhaupt nicht. Ich verwende lieber klassisch oder . Dann sehe ich auch sofort, was durch was zu substituieren ist:



Mit dem Ableitungsstrich ist hier die Jacobi-Matrix gemeint.

EDIT
Fehlende Betragsstriche ergänzt.
 
 
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