Untergruppen und Gruppenhomomorphismen

19.12.2022, 13:05	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen und Gruppenhomomorphismen Meine Frage: Seien G und H zwei endliche Gruppen und f : G -> H ein Gruppenhomomorphismus. a) Sei U <= H eine Untergruppe von H. Zeige, dass dann f^(-1) (U) eine Untergruppe von G ist. b) Sei nun f surjektiv. Zeige, dass #G ein Vielfaches von #H ist. Hinweis: Vergleiche #Kern(f) mit #f^(-1) ({h}) für ein beliebiges h ? H. Meine Ideen: Da bei der letzten Frage die Formatierung von Word nicht übermittelt wurde, nochmals: Bei a) hätte ich den Ansatz, dass man aufgrund der Tatsache, dass man mit der Umkehrfunktion arbeitet, irgendwie mit der Definition des Kerns zu arbeiten. Aber komme irgendwie nicht weiter.
19.12.2022, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Man arbeitet nicht mit einer Umkehrfunktion, weil ein Homomorphismus nicht umkehrbar sein muss. Mit $\begin{eqnarray} f^{-1}(U) \end{eqnarray}$ ist das Urbild von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ gemeint, also alle Elemente $\begin{eqnarray} x\in G \end{eqnarray}$ , für die $\begin{eqnarray} f(x)\in U \end{eqnarray}$ gilt. Weil die Gruppenaxiome in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ gelten, ist nur zu zeigen, dass mit $\begin{eqnarray} x,y\in f^{-1}(U) \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} xy \in f^{-1} (U) \end{eqnarray}$
20.12.2022, 10:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis Woher weißt du denn a priori, dass $\begin{eqnarray} 1 \in f^{-1} (U) \end{eqnarray}$ ? Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ kein Homomorphismus ist, muss es nicht stimmen. Wenn $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ keine Untergruppe ist, muss es nicht stimmen. Ich sehe nicht, wie die Gruppeneigenschaft von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ das alleinig sicherstellen kann.
20.12.2022, 11:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Einwand ist berechtigt. Ich weiß es, weil f ein Homomorphismus und U eine Untergruppe von H und f(1)=1 ist.
01.01.2023, 12:20	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals

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