Beweis der Monotonie in einer Umgebung durch Taylorreihe

19.12.2022, 14:59	Nub-	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Monotonie in einer Umgebung durch Taylorreihe Meine Frage: Hey, ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine stetig differenzierbare Funktion mit $\begin{eqnarray} f'(x) < 0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ zu zeigen ist, dass dann ein $\begin{eqnarray} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ existiert, s.d $\begin{eqnarray} f(x) < f(x+h) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} h \in (0,t) \end{eqnarray}$ . Als Hinweis ist gegeben, dass man es durch Taylorapproximation zeigen soll. Meine Ideen: Ich verwende in meinem Beweis keine Taylorapproximation sonder nur die Definition der Ableitung: Nach Vorrausetzung gilt $\begin{eqnarray} 0 > f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \end{eqnarray}$ hieraus folgt es existiert ein t s.d. $\begin{eqnarray} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} < 0 \forall h \in (0,t] \end{eqnarray}$ hieraus folgt $\begin{eqnarray} f(x+h) < f(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} h \in (0,t] \end{eqnarray}$ . Dazu hätte ich zwei Fragen: 1. Stimmt mein Beweis so? 2. Wie würden man das ganze über Taylorapproxiamtion beweisen? Ich bekomm den Beweis damit nicht, hauptsächlich weil ich mit mit Taylor noch etwas schwer tue. Wie würde das Taylorpolynom überhaupt aussehen? Wäre das in der Aufgabenstellung gegebene x der Entwicklungspunkt? Oder x + h?
19.12.2022, 15:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Beweisidee ist sogar besser als die mit Taylor, du brauchst nicht stetig-differenzierbar, sondern nur differenzierbar in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Taylor würde sagen es gibt $\begin{eqnarray} \xi \in (0,h) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x+h) = f(x) + h f'(\xi) \end{eqnarray}$ . Jetzt braucht man, dass $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ stetig ist, damit $\begin{eqnarray} f'(\xi) <0 \end{eqnarray}$ ist und man das gleiche folgern kann. (In dem Fall ist Taylor nichts anderes als der Mittelwertsatz).
19.12.2022, 16:01	Nub-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht so ganz wie du auf das $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ kommst. Ich habe etwas rumproboert und bin auf folgenden Beweis mit Taylor gekommen: Durch Taylorentwicklung um den Entwicklungspunkt x ist $\begin{eqnarray} f(x+h) = f(x) + f'(x)h + r(x;x+h) \end{eqnarray}$ wobei r(x;x+h) das Restglied ist. Per Definition ist $\begin{eqnarray} r(x;x+h) = 0 \end{eqnarray}$ wenn man h klein genung wählt (also wenn x + h nahgenung an x liegt) Aus f'(x) < 0 folgt $\begin{eqnarray} f'(x)h < 0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} f(x+h) - f(x) < 0 \end{eqnarray}$ und damit die Behauptung. Geht dein Beweis in die selbe Richtung?
19.12.2022, 16:09	Nub-	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ich glaube ich habs. Du machst die Taylorentwicklung um den Enwicklungspunkt x+h und kommst somit auf dein $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ oder? Und da $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ stetig ist existiert ein solches welches nah bei x liegt so dass $\begin{eqnarray} f'(\xi) < 0 \end{eqnarray}$ ist. War das so gemeint?
19.12.2022, 16:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Entwicklung geht bis zum Grad 2. Meines Wissens geht deine Approximation nur, wenn wir wissen, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zweimal stetig differenzierbar ist. Ich habe $\begin{eqnarray} f(x+h) = f(x) + r(x; x+h) \end{eqnarray}$ gemacht. Der Satz von Taylor sagt, dass $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ eng mit der Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zusammenhängt. Wikipedia.
21.12.2022, 09:40	Nub-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ales klar habs verstanden. Danke!
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