Herleitung einer unendlichen Reihe

19.12.2022, 18:57

Ulrich Ruhnau

Herleitung einer unendlichen Reihe

In der Formelsammlung finde ich die Formel

$\begin{eqnarray*} \arctan x=x-\frac 13 x^3+\frac 15 x^5-\frac 17 x^7+... \end{eqnarray*}$

Dann wollte ich meine mathematischen Fähigkeiten testen, und habe versucht, diese Reihe durch eine Taylorentwicklung herzuleiten. Aber leider werden die Ableitungen immer komplizierter.

$\begin{eqnarray*} y = \arctan x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = \frac 1{1+x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'''=\frac{6x^2-2}{\left(1+x^2\right)^3} \end{eqnarray*}$

Wie schafft man es denn auf möglichst einfachem Wege die obere Reihe herzuleiten?

19.12.2022, 19:01

Leopold

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Über die Ableitung. Die ist eine geometrische Reihe mit $\begin{align*} q = -x^2 \end{align*}$ . Dann die Reihe integrieren.

19.12.2022, 19:26

HAL 9000

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Falls du dennoch an den überkomplizierten höheren Ableitungen der Arkustangensfunktion interessiert bist: Aus der komplexen Partialbruchzerlegung $\begin{eqnarray*} y' = -\frac{i}{2}\left[ \frac{1}{x-i} - \frac{1}{x+i} \right] \end{eqnarray*}$ kannst du allgemein die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Ableitung

$\begin{eqnarray*} y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{(x^2+1)^n} \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k+1} x^{n-2k-1} \end{eqnarray*}$

folgern. Augenzwinkern

19.12.2022, 19:33

Ulrich Ruhnau

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Vielen Dank meinen beiden Lieblingshelfern! smile

Das werde ich morgen gleich mal ausprobieren. Augenzwinkern

19.12.2022, 20:59

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Leopold
Über die Ableitung. Die ist eine geometrische Reihe mit $\begin{align*} q = -x^2 \end{align*}$ . Dann die Reihe integrieren.

Das probiere ich natürlich zuerst aus.

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots\qquad q=-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots \end{eqnarray*}$ und jetzt auf beiden Seiten integrieren!

$\begin{eqnarray*} \arctan(x)=x-\frac 13 x^3+\frac 15 x^5-\frac 17 x^7+\ldots \end{eqnarray*}$ Paßt! Augenzwinkern

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