Sin(x) und cos(x) für kleine x annähern

20.12.2022, 16:20

Saiy

Sin(x) und cos(x) für kleine x annähern

Hallo alle,

ich sitze gerade an einen Beweis:
für kleines x (in Bogenmaß) kann man den Sinus und den Kosinus folglich nähern:

sin(x) $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ x
cos(x) $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ 1-x^2/2!

Ich hatte versucht über die Taylorreihe diese zu beweisen, wir nehmen mal sinx:
sin(x)= x-x^3/3!+x^5/5^1-O(x^7)

Meine Frage ist, wieso können wir bereits ab x^3/3! den Sinus annähern.
Wenn man die Abweichung für x=1 betrachtet, dann erhalte ich doch für

sin(1) $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ 0,841470985 ; $\begin{eqnarray*} |1-\frac{1}{6}| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ 0,8333333333333
=> |( $\begin{eqnarray*} |\frac{1-\frac{1}{6}-sin(1)}{sin(1)}| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ 0,00967. ; das ist unter 0,01%

aber sin(1) $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ 0,841470985
=> $\begin{eqnarray*} |\frac{1-sin(1)}{sin(1)}| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ 0,18839 ; das ist zwar kleiner als 0,5% aber doch viel größer als 0,01%.

Dann hatte ich mir überlegt, ob man das eher mathematischer zeigen kann, und hatte über Grenzwertbetrachtung versucht.
Ich weißt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$ ist.
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \lim_{x\to 0} sinx = \lim_{x\to 0} x \end{eqnarray*}$
(ich glaube hier ist mein Vorgehensweise schon falsch)
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0=0 \end{eqnarray*}$ , und mit dieser Zeile kann ich gar nicht anfangen.

Kann mir jemanden helfen,
die Approximierung für kleines x erklären, und wie man auf
sin(x) $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ x
cos(x) $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ 1-x^2/2! kommt?

20.12.2022, 16:35

Steffen Bühler

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RE: Sin(x) und cos(x) für kleine x annähern
Willkommen im Matheboard!

Der Winkel 1 im Bogenmaß ist nun nicht gerade klein zu nennen. Ich würde da eher im Bereich 0,1 und kleiner arbeiten.

Ansonsten ist die Argumentation mit Taylor schon zielführend, siehe Wiki.

Viele Grüße
Steffen

21.12.2022, 18:48

klauss

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RE: Sin(x) und cos(x) für kleine x annähern
Die Hauptursache des Verständnisproblems hat Steffen schon aufgezeigt.
Nimmt man einen tatsächlich kleinen Winkel im Bogenmaß, kann man den Sinus näherungsweise durch den Winkel selbst ersetzen.
Wieso man das kann/darf (abgesehen vom rechnerischen Nachweis)? Weil sich mit x viel leichter rechnen läßt als mit sin(x) und z. B. Physiker gern mit Näherungen rechnen, sofern der dabei auftretende Fehler akzeptabel und beherrschbar erscheint.

Es sind aber noch ein paar andere Anmerkungen angebracht:

Zitat:

=> |( $\begin{eqnarray*} |\frac{1-\frac{1}{6}-sin(1)}{sin(1)}| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ 0,00967. ; das ist unter 0,01%

Das ist unter 0,01 = 1 % !

Zitat:

=> $\begin{eqnarray*} |\frac{1-sin(1)}{sin(1)}| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ 0,18839 ; das ist zwar kleiner als 0,5% aber doch viel größer als 0,01%.

Das sind über 0,188 = 18,8 % !

Zitat:

Ich weißt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$ ist.
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \lim_{x\to 0} sinx = \lim_{x\to 0} x \end{eqnarray*}$
(ich glaube hier ist mein Vorgehensweise schon falsch)
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0=0 \end{eqnarray*}$ , und mit dieser Zeile kann ich gar nicht anfangen.

Also $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$ ist in Ordnung.
Auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \sin x = \lim_{x\to 0} x =0 \end{eqnarray*}$ kann man schreiben.
Aber daraus eine Umformung der Art
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 = \frac{\lim_{x \to 0} \sin(x) }{\lim_{x \to 0} x} =\frac{0}{0} \end{eqnarray*}$
konstruieren geht nicht.

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