Uneigentliches Integral bestimmen

20.12.2022, 17:10

maths4u

Uneigentliches Integral bestimmen

Hallo Leute!

Es handelt sich wieder um uneigentliche Integrale. Ich soll bestimmen, ob das folgende Integral konvergiert. Ich habe als Ergebnis folgendes rausbekommen. Stimmt das so ?

$\begin{eqnarray*} h) \int \limits_{0}^{1}(\ln (x))^{2} \mathrm{~d} x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h) $ \begin{array}{l} \int \limits_{0}^{1} \frac{(\ln (x))^{2}}{1} d x \\ \int \limits_{0}^{1}(\ln (x))^{2} d x=\int \limits_{0}^{1} 1 \cdot(\ln (x))^{2} d x= \\ u^{\prime}=1 \quad \mu=x \\ v=\ln (x) \quad r^{\prime}=\frac{2 \ln (x)}{x} \\ x \cdot \ln (x)-\int \limits_{0}^{1} x \cdot \frac{2 \ln (x)}{x} d x=x \cdot \ln (x)-\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \int \limits_{a}^{1} \underbrace{2 \ln (x)}_{u^{\prime}} d x \\ =\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} x \cdot \ln (x)-2 x \cdot \ln (x)-\int \limits_{a}^{1} 2 x \cdot \frac{1}{x} d x \\ =\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} x \cdot \ln (x)-2 x \cdot \ln (x)-\left.2 x\right|_{a} ^{1} \\ =\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}-x \cdot \ln (x)-\left.2 x\right|_{a} ^{1}=\left.\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}(x \cdot \ln (x)+2 x)\right|_{1} ^{a} \\ =\underbrace{a \cdot \ln (a)+2 \cdot a-\underbrace{1 \cdot \ln (1)}_{=0}-2 \cdot 1}_{\text {nicht def. }} \\ =-2 \Longrightarrow \text { konvergent } \\ \end{array} $ \end{eqnarray*}$

20.12.2022, 18:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von maths4u
$\begin{eqnarray*} u^{\prime}=1 \quad \mu=x \\ v=\ln (x) \quad r^{\prime}=\frac{2 \ln (x)}{x} \end{eqnarray*}$

Es fällt mir schwer, diesen Bezeichnungen zu folgen. Man könnte annehmen, du betreibst hier partielle Integration $\begin{eqnarray*} \int u'v ~ \dd x = uv - \int uv' ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , aber da hätte ich dann eher sowas wie

$\begin{eqnarray*} u' = 1, u=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = \left(\ln(x)\right)^2, v'=\frac{2\ln(x)}{x} \end{eqnarray*}$

erwartet...

20.12.2022, 20:18

maths4u

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Ja genau, partielle Integration. Hier sehen die Schritte ziemlich unübersichtlich. Latex hat mir Schwierigkeiten bereitet, auf dem Scan ist die Rechnung ordentlicher. Daher die gescannte Datei:

20.12.2022, 20:44

Leopold

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Da $\begin{align*} \left( \ln(x) \right)^2 \geq 0 \end{align*}$ ist, kann das Integral keinen negativen Wert haben. Auch solltest du aufpassen, daß du nicht in einer gemeinsamen Rechnung zugleich mit bestimmten und unbestimmten Integralen rechnest. Da nutzt es auch nichts, das später zu korrigieren.

20.12.2022, 22:02

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von maths4u
Ja genau, partielle Integration. Hier sehen die Schritte ziemlich unübersichtlich. Latex hat mir Schwierigkeiten bereitet, auf dem Scan ist die Rechnung ordentlicher. Daher die gescannte Datei:

Kein Grund auf Latex zu verzichten! Schön aber, daß Du es wenigstens versucht hast.
Bei der partiellen Integration, sollte man schon genau aufschreiben, was u' und v ist.

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1} (\ln x)^2 \dd x =\int\limits_{0}^{1} \underbrace 1_{u'}\underbrace{(\ln x)^2}_{v} \dd x =\underbrace{\left.\underbrace x_u\cdot \underbrace{(\ln x)^2}_v\right|_0^1}_0-\int\limits_{0}^{1} \underbrace {\cancel x}_u\underbrace{\frac{2\ln x}{\cancel x} }_{v'}\dd x =-2\left[x\ln x-x\right]_0^1=2 \end{eqnarray*}$

code:

1:
2:
3:
4:
5:

\int\limits_{0}^{1} (\ln x)^2 \dd x 
=\int\limits_{0}^{1} \underbrace 1_{u'}\underbrace{(\ln x)^2}_{v} \dd x 
=\underbrace{\left.\underbrace x_u\cdot \underbrace{(\ln x)^2}_v\right|_0^1}_0
-\int\limits_{0}^{1} \underbrace {\cancel x}_u\underbrace{\frac{2\ln x}{\cancel x} }_{v'}\dd x 
=-2\left[x\ln x-x\right]_0^1=2

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