Vektorraum, Basis, Koordinatenvektoren

20.12.2022, 18:36

ichhaltlol

Vektorraum, Basis, Koordinatenvektoren

Wir betrachten im Vektorraum V = R2[x] = {a0 + a1x + a2x^2 | a0, a1, a2 ∈ R} die Vektoren p(x):=3x^2+4x+2, q(x):=−x^2+5x+3, r±(x):=8x^2+±x mit±∈R.
a) Bestimmen Sie die Koordinatenvektoren von p, q und r± bezüglich der kanonischen Basis
B = (1, x, x^2) von V . (Reihenfolge in B beachten!)
b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von ± ∈ R die Dimension und eine Basis von U± := lin(p, q, r±).

Zu a)

1. ich habe einmal ein Gleichungssystem gebildet und darin p = q gesetzt und das dann mit P,Q Formel nach x aufgelöst.

2. das berechnete x habe ich in P(x),Q(x) und ralpha(x) gesetzt und die Gleichung dann gelöst.

Wenn das soweit richtig war(bin mir nicht sicher), sollte ich als nächstes Koordinaten mit den Basen multiplizieren. Wie komme ich auf diese? Und war mein bisheriger Weg korrekt?

b) muss ich mir noch anschauen, aber wäre hier für Tipps ebenfalls dankbar.

20.12.2022, 18:52

ichhaltlol

Auf diesen Beitrag antworten »

Es heißt Vektorraum R^2 nicht R2

20.12.2022, 19:14

ichhaltlol

Auf diesen Beitrag antworten »

a0,a1,a2€Reell
q(x)=-x^2+5x+3
ralpha(x)=8x^2+alphax und alpha € reell

b) bestimmen Sie in Abhängigkeit von alpha € reell....

20.12.2022, 20:45

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann nur kurz antworten, jemand anders gerne übernehmen. Dir mangelt es massiv an Verständnis, deswegen eine detaillierte Skizze, und du solltest dir bei allem überlegen warum das gilt.

a) Du hast $\begin{eqnarray*} p(x) = 2 + 4x + 3x^2 \end{eqnarray*}$ . In der Basis $\begin{eqnarray*} (1,x, x^2) \end{eqnarray*}$ ist es dann einfach der Vektor $\begin{eqnarray*} (2,4,3) \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} r_\alpha=(x) = 0 + \alpha x + 8x^2 \end{eqnarray*}$ ist es $\begin{eqnarray*} (0, \alpha, 8) \end{eqnarray*}$ . Denke das System sollte klar sein für $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ .

b) Schreibe die Vektoren in eine $\begin{eqnarray*} 3\times 3 \end{eqnarray*}$ Matrix und bestimme die Determinante. Wenn die Determinante ungleich 0 ist, dann ist $\begin{eqnarray*} U_\alpha = V \end{eqnarray*}$ . Für genau ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein zwei-dimensionaler Unterraum sein, d.h. $\begin{eqnarray*} \{p,q\} \end{eqnarray*}$ bilden Basis.

20.12.2022, 21:19

ichhaltlol

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Ich kann nur kurz antworten, jemand anders gerne übernehmen. Dir mangelt es massiv an Verständnis, deswegen eine detaillierte Skizze, und du solltest dir bei allem überlegen warum das gilt.

a) Du hast $\begin{eqnarray*} p(x) = 2 + 4x + 3x^2 \end{eqnarray*}$ . In der Basis $\begin{eqnarray*} (1,x, x^2) \end{eqnarray*}$ ist es dann einfach der Vektor $\begin{eqnarray*} (2,4,3) \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} r_\alpha=(x) = 0 + \alpha x + 8x^2 \end{eqnarray*}$ ist es $\begin{eqnarray*} (0, \alpha, 8) \end{eqnarray*}$ . Denke das System sollte klar sein für $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ .

b) Schreibe die Vektoren in eine $\begin{eqnarray*} 3\times 3 \end{eqnarray*}$ Matrix und bestimme die Determinante. Wenn die Determinante ungleich 0 ist, dann ist $\begin{eqnarray*} U_\alpha = V \end{eqnarray*}$ . Für genau ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein zwei-dimensionaler Unterraum sein, d.h. $\begin{eqnarray*} \{p,q\} \end{eqnarray*}$ bilden Basis.

Wie bekomme ich denn alpha raus bei b?

21.12.2022, 11:18

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Determinante berechnen, hat IfindU gesagt. Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte, die eine Null enthält. Determinante gleich 0 setzen. Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auflösen.

Neue Frage »

Antworten »

Vektorraum, Basis, Koordinatenvektoren

Verwandte Themen