Minimaler Abstand zwischen Gerade und Parabel mithilfe von Lagrange

21.12.2022, 18:44	SebbeS	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimaler Abstand zwischen Gerade und Parabel mithilfe von Lagrange Meine Frage: Hallo, ich sitze gerade an einer Aufgabe bei der ich den minimalen Abstand zwischen einer Parabel y = x^2 und einer Geraden y = x - 1 mithilfe von Lagrange berechnen soll, komme aber nicht weiter. (Mein vorheriges Posting im falschen Forum bitte ignorieren, da ich es als Gast erstellt hatte kann ich es leider nicht löschen) Willkommen im Matheboard! Ich habe das andere Posting gelöscht. Das hattest Du unter dem Account Saebbi geschrieben, da Du nun ein zweites Mal angemeldet bist, wird Saebbi demnächst gelöscht. Viele Grüße Steffen Meine Ideen: Ich habe zuerst die Parabel in d = b^2 umbenannt und dann eine Lagrange-Gleichung aufgestellt: z(x,y,d,b,l,h) = (x - b)^2 + (y - d)^2 + l * (x - 1 - y) + h * (b^2 - d) (l = lambda 1, h = lambda 2) Daraus hat sich dann durch partielle Ableitungen folgendes Gleichungssystem ergeben: 1. 2x - 2b + l = 0 2. 2y - 2d - l = 0 3. -2x + 2b + 2h * 2b = 0 4. -2y + 2d - h = 0 5. x - 1 - y = 0 6. b^2 - d = 0 Das Problem ist jedoch, dass das Gleichungssystem scheinbar keine Lösungen hat, oder ich zumindest keine finden kann. Jedesmal wenn es mir gelingt mehrere Variablen zu eliminieren, erhalte ich am Ende das wenig hilfreiche 0 = 0. Habe ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht oder stimmt etwas mit meinem Ansatz nicht? Ich wäre sehr dankbar über jegliche Hilfe.
21.12.2022, 21:43	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben: Parabel: $\begin{eqnarray} y_1=x_1^2 \end{eqnarray}$ Gerade: $\begin{eqnarray} y_2=x_2-1 \end{eqnarray}$ Abstandsquadrat: $\begin{eqnarray} a^2=(y_1-y_2)^2+(x_1-x_2)^2 \end{eqnarray}$ Lösung (ohne Lagrange): Setze die Parabel und die Gerade in das Abstandsquadrat ein Abstandsquadrat: $\begin{eqnarray} a^2=(x_1^2-x_2+1)^2+(x_1-x_2)^2 \end{eqnarray}$ Differenziere das Abstandquadrat nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und setze beide Ableitungen Null. Das ergibt ein Gleichungsystem für $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=4x_1(x_1^2-x_2+1)+2(x_1-x_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=-2(x_1^2-x_2+1)-2(x_1-x_2) \end{eqnarray}$ Addition beider Gleichungen liefert $\begin{eqnarray} 0=4x_1(x_1^2-x_2+1)-2(x_1^2-x_2+1) \end{eqnarray}$ Division durch die Klammer (...) liefert $\begin{eqnarray} 0=4x_1-2 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} x_1=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ Setze dies in die Parabel $\begin{eqnarray} y_1=x_1^2 \end{eqnarray}$ ein. Das liefert $\begin{eqnarray} y_1=\tfrac{1}{4} \end{eqnarray}$ Zeige, dass dies ein Minimum ist, indem du zeigst, dass die zweite Ableitungdes Abstandsquadrates an dieser Stelle positiv ist.
21.12.2022, 22:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung mit Lagrange: Korrigiere Gleichung 3 und addieren danach 1 bis 4. Daraus ergibt sich b. Damit aber auch d. Anschließend kannst Du x und y mit 1,2 und 5 ermitteln.
21.12.2022, 22:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehos, das ist jetzt nicht das Ziel der Aufgabe und bitte auch keine (fast) Komplettlösungen. Dass es auf anderem Wege auch geht, ist unbestritten. Übrigens, der einfachste Weg ist der über die zur Geraden parallelen Tangente an die Parabel . Es soll aber eben mittels des Ansatzes von Lagrange berechnet werden. @Sebbes Nach kurzer Durchsicht deiner Gleichungen sieht es für mich so aus, dass ein Fehler in der 3. Gleichung steckt: 3. -2x + 2b + 2h 2b = 0 Bei der Ableitung nach b ist ein Faktor 2 zu viel. mY+ @Helferlein: Den Fehler darf ich doch noch näher erläutern? Ich habe außerdem meinen Beitrag schon vor deinem Post fast fertig gehabt. Ich lasse dennoch meinen Beitrag stehen. (*) Ableitung der Parabelgleichung = 2x, dies ist gleich der Steigung der Geraden bzw. Tangente: 2x = 1 --> x = 1/2; ....

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