Gruppenhomomorphismus

22.12.2022, 07:42	MMchen60	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismus Liebe Forumsgemeinde, ich überlege mir gerade, wie ich den Nachweis für die Aufgabe im Anhang führen muss. Ich nehme an, dass hier eine über eine Multiplikation verknüpfte Gruppe gemeint ist. Reicht hier die Aussage, dass nach den Potenzregeln das inverse Element von h mit $\begin{eqnarray} h^{-1} \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \frac {1}{h} \end{eqnarray}$ geschrieben werden darf und damit das Bild $\begin{eqnarray} \Phi_h(g) = \frac {h}{h} g \end{eqnarray*}$ ist?
22.12.2022, 08:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt nur formal und nur für kommutative (abelsche) Gruppen, und für diese ist diese Abbildung die Identität. Für den allgemeinen Fall muss man das Bild eines Produkts berechnen, dann erkennt man sofort, dass es gleich dem Produkt der Bilder ist. Genau das ist zu zeigen.
22.12.2022, 12:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir als Beispiel die kleinste nichtabelsche Gruppe, die symmetrische Gruppe $\begin{align} S_3 \end{align}$ . Diese Gruppe kann realisiert werden durch die Menge der 6 unten definierten reellen Abbildungen $\begin{align} \mathbb{R} \setminus \{0,1\} \to \mathbb{R} \setminus \{0,1\} \end{align}$ . Die Gruppenoperation ist die Verkettung von Abbildungen: $\begin{align} fg = f \circ g \end{align}$ . Die Abbildungen sind $\begin{align} \begin{matrix}<br /> \varepsilon: & x \mapsto x \\<br /> \sigma: & x \mapsto 1-x \\<br /> \tau: & x \mapsto \frac{1}{x} \\<br /> \sigma \tau: & x \mapsto \frac{x-1}{x} \\<br /> \tau \sigma: & x \mapsto \frac{1}{1-x} \\<br /> \sigma \tau \sigma: & x \mapsto \frac{x}{x-1}<br /> \end{matrix} \end{align}$ Das neutrale Element der Gruppe ist die Identität $\begin{align} \varepsilon \end{align}$ . Die Gruppe wird von den Elementen $\begin{align} \sigma \end{align}$ und $\begin{align} \tau \end{align}$ erzeugt: $\begin{align} S_3 = \left \langle \sigma, \tau \right \rangle = \left\{ \varepsilon, \sigma, \tau, \sigma \tau, \tau \sigma, \sigma \tau \sigma \right\} \end{align}$ Man rechnet sofort nach, daß beide Erzeugende die Ordnung 2 haben: $\begin{align} \sigma^2 = \tau^2 = \varepsilon \end{align}$ , und die Relation $\begin{align} \sigma \tau \sigma = \tau \sigma \tau \end{align}$ besteht. Damit kann die Gruppentafel aufgestellt werden, zum Beispiel $\begin{align} \sigma \cdot \sigma \tau = \sigma^2 \tau = \varepsilon \tau = \tau \end{align}$ $\begin{align} \sigma \tau \cdot \sigma \tau \sigma = (\sigma \tau \sigma) \tau \sigma = (\tau \sigma \tau) \tau \sigma = \tau \sigma \tau^2 \sigma = \tau \sigma \varepsilon \sigma = \tau \sigma^2 = \tau \varepsilon = \tau \end{align}$ Hier die Gruppentafel: $\begin{align} \begin{matrix}<br /> \varepsilon & \sigma & \tau & \sigma \tau & \tau \sigma & \sigma \tau \sigma \\<br /> \sigma & \varepsilon & \sigma \tau & \tau & \sigma \tau \sigma & \tau \sigma \\<br /> \tau & \tau \sigma & \varepsilon & \sigma \tau \sigma & \sigma & \sigma \tau \\<br /> \sigma \tau & \sigma \tau \sigma & \sigma & \tau \sigma & \varepsilon & \tau \\<br /> \tau \sigma & \tau & \sigma \tau \sigma & \varepsilon & \sigma \tau & \sigma \\<br /> \sigma \tau \sigma & \sigma \tau & \tau \sigma & \sigma & \tau & \varepsilon<br /> \end{matrix} \end{align}$ Jetzt kannst du zum Beispiel die Abbildung $\begin{align} \varphi_{\sigma \tau}: \ S_3 \to S_3 \, , \ \ \varphi_{\sigma \tau}(x) = \sigma \tau \cdot x \cdot (\sigma \tau)^{-1} = \sigma \tau \cdot x \cdot \tau \sigma \end{align}$ betrachten.

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