Fläche berechnen

22.12.2022, 18:42

fleißige Schülerin

Fläche berechnen

Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard,

getreu dem Motto ?vor den Ferien ist nach den Ferien?, möchte ich die freie Zeit zum Üben nutzen.
Ich beschäftige mich unter anderem gerade mit der Integralrechnung.
Folgende Figur ist gegeben (siehe Bild) und ich möchte den gesamten Flächeninhalt, der von den beiden Graphen f ung g mit den Funktionsgleichungen $\begin{eqnarray*} f(x)=0,25x^{3}- 2x^{2}+16 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)= 2x^{2}-2,5x + 7 \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} -2 \leq x \leq 3 \end{eqnarray*}$ eingeschlossen wird, berechnen.

Geogebra sagt es kommt A = 8,65 FE raus.

Meine Ideen:
Meine Vorgehensweise ist wie folgt,

A besteht aus 3 Teilflächen $\begin{eqnarray*} A_{1}, A_{2}, A_{3} \end{eqnarray*}$

sprich $\begin{eqnarray*} A = A_{1} + A_{2} + A_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{1} = \int_{-2}^{-1,19} \! (g(x) - f(x))dx = \int_{-2}^{-1,19} \! (2x^{2}-2,5x + 7-(0,25x^{3}- 2x^{2}+16)dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{-2}^{-1,19} \! (-0,25x^{3} + 4x^{2} -2,5x -9)dx \end{eqnarray*}$ das ist meine Differenzfunktion $\begin{eqnarray*} d(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = [-\frac{1}{16}x^{4}+\frac{4}{3}x^{3}-\frac{5}{4}x^2-9x]_{-2}^{-1,19} \end{eqnarray*}$ Das ist meine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} D(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(-1,19)= 6,56 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(-2)= 1,33 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(-1,19) - D(-2) = 6,56 - 1,33 = 5,24 \end{eqnarray*}$

Jetzt ?analog? für $\begin{eqnarray*} A _{2} und A_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{2} = \int_{-1,19}^{2} \! (f(x)-g(x))dx = \int_{-1,19}^{2} \! (0,25x^{3}- 2x^{2}+16 ? (2x^{2}-2,5x + 7))dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{-1,19}^{2}\! (0,25x^{3} - 4x^{2} + 2,5x + 9)dx \end{eqnarray*}$ das ist meine Differenzfunktion $\begin{eqnarray*} d(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = [\frac{1}{16}x^{4} - \frac{4}{3}x^{3} + \frac{5}{4}x^2 + 9x] _{-1,19}^{2} \end{eqnarray*}$ Das ist meine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} D(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(-1,19)= 6,56 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(2)= 13,33 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(-1,19) - D(-2) = 13,33 ? 6,56 = 6,77 \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} A_{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{1} = \int_{2}^{3} \! (g(x) - f(x))dx = \int_{2}^{3} \! (2x^{2}-2,5x + 7-(0,25x^{3}- 2x^{2}+16)dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{2}^{3} \! (-0,25x^{3} + 4x^{2} -2,5x -9)dx \end{eqnarray*}$ das ist meine Differenzfunktion $\begin{eqnarray*} d(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = [-\frac{1}{16}x^{4}+\frac{4}{3}x^{3}-\frac{5}{4}x^2-9x]_{2}^{3} \end{eqnarray*}$ Das ist meine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} D(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(2)= 13,33 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(3)= - 7,31 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(3) - D(2) = - 7,31 ? 13,33 = - 20,64 \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst: Jetzt kommt bei mir was Negatives raus, und dann muss man Betragsstriche setzen, also
$\begin{eqnarray*} A = A_{1} + A_{2} + A_{3} = 5,24 + 6,77 - 20,64 = | - 8,63 | = 8,63 \end{eqnarray*}$

Stimmt das, was ich gerechnet und aufgeschrieben habe?

Irgendwie kann ich das Bild gerade nicht hochladen, es steht immer "too large", obwohl es weniger als 10 MB sind -.-

Ich freue mich über Feedback und Hilfe.

22.12.2022, 19:12

Steffen Bühler

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Zum einen dürfte bei Deiner Vorgehensweise nichts Negatives rauskommen, denn der Integrand ist ja jeweils immer positiv.

Zum anderen ist die Fläche etwas klein. Schau mal:

Die Fläche des gesamten Diagramms ist 5*20=100 und Deine drei Teilflächen nehmen doch ein ordentliches Stück davon ein, fast die Hälfte, würde ich sagen.

Irgendwo hast Du Dich also verrechnet.

Viele Grüße
Steffen

22.12.2022, 19:23

fleißige Schülerin

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Lieber Steffen,

danke für deine schnelle Antwort.

Danke für das Bild Freude

, das Hochladen hatte leider bei mir nicht funktioniert.

Allerdings bin ich jetzt nicht "viel schlauer" als vorher verwirrt

Ich habe mir doch so viel Mühe mit dem Aufschreiben gegeben.

Vielleicht kann mir jemand anderes weiterhelfen ...

Danke euch

22.12.2022, 20:37

Steffen Bühler

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RE: Fläche berechnen

Zitat:

Original von fleißige Schülerin
$\begin{eqnarray*} = [\frac{1}{16}x^{4} - \frac{4}{3}x^{3} + \frac{5}{4}x^2 + 9x] _{-1,19}^{2} \end{eqnarray*}$ Das ist meine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} D(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(-1,19)= 6,56 \end{eqnarray*}$

Vorzeichenfehler: es sind -6,56.

Zitat:

Original von fleißige Schülerin
$\begin{eqnarray*} = [-\frac{1}{16}x^{4}+\frac{4}{3}x^{3}-\frac{5}{4}x^2-9x]_{2}^{3} \end{eqnarray*}$ Das ist meine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} D(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(2)= 13,33 \end{eqnarray*}$

Vorzeichenfehler: es sind -13,33.

22.12.2022, 21:13

fleißige Schülerin

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Hallo Steffen,

ah danke, jetzt sehe ich auch den Vorzeichenfehler. Ich war zu hastig, natürlich, ich habe einfach für D(2) und D(-1,19) die Werte von vorher übernommen Hammer

Also

$\begin{eqnarray*} A_{1} = 6,56 - 1,33 =5,23 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{2} = 13,33 - ( - 6,56) = 19,89 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{3} = - 7,31 - (-13,33) = 6,02 \end{eqnarray*}$

Dann ist A = 5,23 + 19,89 + 6,02 = 31,14 FE

Stimmt das jetzt so?

Aber da kommt ja jetzt was ganz anderes raus, als bei GeoGebra verwirrt

22.12.2022, 21:22

Steffen Bühler

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Die Fläche könnte jetzt stimmen, ich hab nicht alles nachgerechnet.

Geogebra hast Du vielleicht nicht mitgeteilt, dass die Vorzeichen der Flächen unterschiedlich sind, dann betrachtet es natürlich die beiden äußeren als negativ und rechnet 19,89-5,23-6,02=8,64.

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