Fraktale Dimension eines Punktes

23.12.2022, 23:52

antaris

Fraktale Dimension eines Punktes

Hallo zusammen,

Die fraktale Dimension einer Strecke, einer Fläche und eines Körpers entspricht im "idealisierten" Fall denen der euklidischen geometrie.

Also eine 10 cm Strecke wird mittels Boxcounting Methode überdeckt.

Strecke:
Länge 10 cm
Teilungsfaktor f=10
Anzahl Überdeckungen N = 10

D = -(log(N)/log(1/f)) = -(log(10)/log(1/10)) = 1

Fläche (Quadrat):
Seitenlänge 10 cm
Teilungsfaktor f=10
Anzahl Überdeckungen N = 10^2

D = -(log(N)/log(1/f)) = -(log(10^2)/log(1/10)) = 2

Körper (Würfel):
Kantenlänge 10 cm
Teilungsfaktor f=10
Anzahl Überdeckungen N = 10^3

D = -(log(N)/log(1/f)) = -(log(10^3)/log(1/10)) = 3

Wie wird ein Punkt mit Dimension 0 beschrieben?

Vielen Dank im Voraus und schöne Feiertage.

Gruß antaris

24.12.2022, 01:49

Finn_

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Es genügt doch immer eine einzige Box zur Überdeckung des Punktes. Das heißt, es muss $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ konstant =1 sein, wobei $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Boxen mit Kantenlänge $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sein soll. Ergo gilt

$\begin{eqnarray*} D \stackrel{\text{def}}= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\log( N(\varepsilon))}{\log (1/\varepsilon)} = \lim_{\varepsilon\to 0} 0 = 0. \end{eqnarray*}$

Haben wir zwei unterschiedliche Punkte, ist die Kantenlänge irgendwann (unter einem $\begin{eqnarray*} \varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ ) klein genug, dass immer zwei Boxen benötigt werden. Bezüglich $\begin{eqnarray*} \varepsilon < \varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ gilt insofern

$\begin{eqnarray*} D = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\log(2)}{\log (1/\varepsilon)} = 0. \end{eqnarray*}$

25.12.2022, 19:50

antaris

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Zitat:

Original von Finn_
Es genügt doch immer eine einzige Box zur Überdeckung des Punktes. Das heißt, es muss $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ konstant =1 sein, wobei $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Boxen mit Kantenlänge $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sein soll. Ergo gilt

$\begin{eqnarray*} D \stackrel{\text{def}}= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\log( N(\varepsilon))}{\log (1/\varepsilon)} = \lim_{\varepsilon\to 0} 0 = 0. \end{eqnarray*}$

Haben wir zwei unterschiedliche Punkte, ist die Kantenlänge irgendwann (unter einem $\begin{eqnarray*} \varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ ) klein genug, dass immer zwei Boxen benötigt werden. Bezüglich $\begin{eqnarray*} \varepsilon < \varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ gilt insofern

$\begin{eqnarray*} D = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\log(2)}{\log (1/\varepsilon)} = 0. \end{eqnarray*}$

Ok aber spielt die Größe der Box und die Anzahl der Unterteilungen dieser Box zurm überdecken eines Punktes keine Rolle?
Ich mein wie groß soll die Box sein, wenn der Punkt doch unendlich klein ist?

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