Urnenaufgabe

24.12.2022, 00:29

fleißige Schülerin

Urnenaufgabe

Meine Frage:
Guten Abend liebes Matheboard,

ich sitze gerade an der folgenden Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 2 blaue, 3 rote und 5 weiße Kugeln. Ein Schüler zieht nacheinander ohne zurücklegen 3 Kugeln. Nachdem der Schüler eine blaue Kugel gezogen hat, wird keiner weitere Kugel gezogen.

Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten in c) auch in Prozent an.

a) Zeichnen Sie ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm.

b) Geben Sie die Ergebnismenge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ und die Mächtigkeit an.

Folgende Ereignisse seien gegeben;

A: "alle 3 gezogenen Kugeln dieselbe Farbe haben?

B: "die 3 Kugeln unterschiedliche Farben aufweisen?

C: "alle anderen Ausgänge?

c) Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse A, B und C.

Meine Ideen:
Meine Lösungen:

Zu a)

leider kann ich meine jpg Datei nicht hochladen.

Zu b) Die Elemente von Omega müssen doch 3-Tupel sein, sprich

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ={ $\begin{eqnarray*} (R,R,B) ; (R,R,R) ; (R,R,W) ; (R,W,W) ; (R,W,R) ; (R,W,B) ; (W,R,B) ; (W,R,R) ; (W,R,W) ; (W,W,W) ; (W,W,R) ; (W,W,B) \end{eqnarray*}$ }

$\begin{eqnarray*} | \Omega |= 12 \end{eqnarray*}$

Zu c)
$\begin{eqnarray*} P(A) = P({R,R,R}) + P({W,W,W}) = \frac{1}{120} + \frac{1}{12} = \frac{11}{120} \approx 9,17 % \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B) = P({R,W,B}) + P({W,R,B}) = \frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{12} \approx 8,33 % \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(C) = 1 ? (P(A) + P(B)) = 1 - \frac{7}{40} = 0,825 \approx 82,5 % \end{eqnarray*}$

Danke für eure Hilfe.

Korrektur zu $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ aus Folgebeitrag übernommen und diesen gelöscht.
klauss

24.12.2022, 01:03

klauss

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RE: Urnenaufgabe

Zitat:

Nachdem der Schüler eine blaue Kugel gezogen hat, wird keiner weitere Kugel gezogen.

Dazu wäre noch eine Klarstellung vönnöten. Da Blau auch im ersten oder zweiten Zug auftreten kann, würde das bedeuten, dass die Ziehung dann vorzeitig beendet wäre, also insgesamt höchstens 3 Kugeln gezogen werden.
Soll das so gemeint sein? Im Rahmen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist das natürlich zu berücksichtigen.

Die 3 berechneten Wahrscheinlichkeiten sind richtig.

24.12.2022, 01:17

fleißige Schülerin

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Hallo Klauss,

die Aufgabe habe ich mir selbst ausgedacht :-)

Ja genau, wenn man blau zieht, dann soll die Ziehung vorzeitig beendet sein.

24.12.2022, 01:28

klauss

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Zitat:

die Aufgabe habe ich mir selbst ausgedacht :-)

Sehr lobenswert.
Nun, zum ersten Check, ob Dein $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ vollständig sein kann, solltest Du die Wahrscheinlichkeiten der 12 gelisteten Elementarereignisse addieren. Was kommt raus?

24.12.2022, 01:46

fleißige Schülerin

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Also meint du ich muss noch einige Elementarereignisse ergänzen

{B}, {R,B} und {W,B} ?

24.12.2022, 01:49

klauss

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Ja, es muß natürlich $\begin{eqnarray*} P(\Omega)=1 \end{eqnarray*}$ gewährleistet sein.

24.12.2022, 09:52

fleißige Schülerin

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Dann ist die Mächtigkeit von Omega 15?

Aber dir Wahrscheinlichkeiten aus c) bleiben so, richtig?

24.12.2022, 13:23

klauss

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Ja, und c) war schon unabhängig davon bestätigt.

24.12.2022, 14:17

fleißige Schülerin

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Super, danke dir. Und frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr :-)

24.12.2022, 14:35

klauss

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Besten Dank, dann geb ich das ausdrücklich zurück.
Kapazitäten für weitere Aufgaben sind auch über die Feiertage frei.

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