Wahrscheinlichkeit berechnen

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BlerimStrik Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit berechnen
Meine Frage:
Sei (X,Y) eine bivariat normalverteile Zufallsvariable mit E[X]=1, V[X]=1, E[Y]=0, V[Y]=1 und Corr[X,Y]=0,5

a) Berechnen Sie

b) Berechnen Sie

c) Sind X+Y und X-Y stochastisch unabhängig?

Meine Ideen:
Hallo, ich würde gerne diese Aufgabe zusammen mit Euch machen, bei a) wie soll ich da anfangen?

Edit (mY+): LaTex-Tags wurden vergessen, eingefügt
GastSH Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit berechnen
Hallo,

für eine bivariate Normalverteilung gilt insbesondere, dass die Randverteilungen und jeweils normalverteilt sind. (Achtung: Die Umkehrung gilt i.A. nicht!)

Damit ist auch normalverteilt.


Zunächst solltest und bestimmen.


Beste Grüße
Blerim Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, was war nochmal bivariat und mulivariat? War bivariat nicht einfach ein Begriff für mehrdimensional?


Ich habe es gegoogelt, ja, ok, dass ist mir über die Hand gegangen, ich werde es gleich mal versuchem. Gott oh Gott, Stochastik ist schon eine schwere Geburt, aber irgendwie sehr interessant, das ist schon Highlevel.
GastSH Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bivariat bedeutet zweidimensional. Die Verteilungen von und sind damit bekannt (siehe Post vorher). Wie ist denn jetzt verteilt?
Blerim Auf diesen Beitrag antworten »

E[Z]=2 und V[Z]=5, aber woher weiss man, dass
Zitat:
für eine bivariate Normalverteilung (X,Y) gilt insbesondere, dass die Randverteilungen X und Y jeweils normalverteilt sind. (Achtung: Die Umkehrung gilt i.A. nicht!)
gilt.



Ich meine genau diese Behauptung ist für mir für die stochastische Unabhängigkeit bekannt. Wozu gehört diese Behauptung als Thema? Ich will das mal nachschlagen, ich finde es aber nicht.
Blerim Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, kann mir jetzt einer vielleicht weiterhelfen?

b) habe ich 3

c) Nein, weil die Kovarianz nicht null ist, oder weil E[(X+Y)(X-Y)]=E[X+Y]E[X-Y] nicht gilt.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du bei b) auf 3 kommen kannst, kann ich nicht nachvollziehen. Die Kovarianz ist bilinear, d.h., es gilt

.


Zur linearen Transformation normalverteilter Zufallsgrößen:

Transformiert man eine -dimensional normalverteilte Zufallsgröße gemäß mit einer Matrix mit sowie einer Verschiebung , so ist eine -dimensional normalverteilte Zufallsgröße, genauer gesagt . Das gilt speziell auch für wie in a).
Blerim Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stelle mal die Datei von meiner Lösung b) und c) hoch, ok? Die Frage ist, warum ist dann der Corr angegeben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, von Zeile 3 auf 4 wird im hinteren Faktor aus einem plötzlich ein . Womit du letztlich



berechnest, was zweifelsohne richtig ist - nur eben nicht gesucht wurde. Augenzwinkern

-----------------------------------------------

Zitat:
Original von HAL 9000
Transformiert man eine -dimensional normalverteilte Zufallsgröße gemäß mit einer Matrix mit sowie einer Verschiebung , so ist eine -dimensional normalverteilte Zufallsgröße, genauer gesagt .

Hier nun mit :

Es ist ja , womit sich das ganze einordnen lässt auf die von mir oben angegebene Normalverteilungstransformation mit , sowie Transformationsmatrix ohne Verschiebung . Damit haben wir dann mit und , wo man dann direkt sowie ablesen kann - voilà.
Blerim Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber da kann ich ja nichts für, wenn das sich so umformt, haha.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blerim
Ok, aber da kann ich ja nichts für, wenn das sich so umformt, haha.

Schon bessere Ausreden für banale Rechenfehler (wie diesen deinen Vorzeichenfehler) gehört...
Blerim Auf diesen Beitrag antworten »

Alles Gut, trotzdem vielen Dank, ich muss zugeben, ich komme erstmal nicht drauf, oder ich wäre auf deinen Lösungsweg nicht gekommen, vielleicht habe ich echt das falsche Lehrbuch.

Damit ist die Frage in c) auch beantwortet, nach deinem Lösungsweg, was hast du denn bei a) als Ergebnis, ich habe 0,6736.

Wie gesagt, vielen Dank.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

a) hatte ich mir nicht angeschaut, da muss ich erstmal nachrechnen: Für ist sowie . Ich hoffe, dass du damit gerechnet hast statt mit

Zitat:
Original von Blerim
E[Z]=2 und V[Z]=5
Blerim Auf diesen Beitrag antworten »

Top, habe ich jetzt auch ganz vergessen.
Blerim Auf diesen Beitrag antworten »

Aber, eine letzte Frage, wieso hast du denn die Kovarianz, bei der Berechnung der Varianz, mit vier multipliziert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann mal ganz ganz ganz langsam:

.

Für und ergibt das nun mal .


Und im vorliegenden Fall ist .
Blerim Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, ich muss nochmal schauen. Ich platze gerade vor Wut, echt, das ich auf so etwas nicht komme, ich war noch nie so Lost.

Was mich ärgert, dass diese Umformung auf zwei mathematischen Eigenschaften erstellt wurde, erstmal

1. Cov[X,X]=Var(X)

2. Cov[a+bX,c+dY]=b*d Cov[X,Y]


richtig?


Da muss ich drauf kommen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann beruhige dich erstmal. Wenn man sich alles anschaut, dann fußen die ganzen Erwartungswert- und Kovarianzrechnungen fast nur auf der (Bi-)Linearität dieser beiden Operatoren, steckt also keine Magie dahinter, sondern ganz schnöde einfache Umformungen.
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