Restklassen und multiplikatives Inverses |
| 27.12.2022, 14:34 | Delta121 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Restklassen und multiplikatives Inverses Hallo zusammen. Kann einer von euch sich mal meine Erklärung zu de Restklassen und dem multiplikativen Inversen durchlesen und mir sagen, ob ich es richtig erklärt habe. Falls ich was falsch würde ich mich über Verbesserungsvorschläge freuen. Vielen Dank im voraus. Meine Ideen: Die Restklasse a modulo m (a mod m) ist die Menge aller Zahlen, die bei Division durch m denselben Rest lassen wie a. Man schreibt auch [a]m = {x ? Z | x ? a mod m}. Dabei ist a eine ganze Zahl und m eine natürliche Zahl. Jedes Element x aus a heißt Repräsentant von a. Die Menge aller Restklassen modulo m bezeichnet man als mit Zm = {[0]m, [1]m, [2], ?. [m - 1]}. Beispiel: (Restklassen modulo 3) Es gibt genau drei Restklassen modulo 3: Die Zahl ist durch drei teilbar, also Rest 0, oder sie hat einen Rest von 1 oder sie hat einen Rest von 2: [0]3 = {?, -6, -3, 0, 3, 6, ?} [1]3 = {?, -5, -2, 1, 4, 7, ?} [2]3 = {?, -4, -1, 2, 5, 8, ?} Mit Restklassen kann man auch addieren und multiplizieren. Entsprechend gilt für addieren z.B.: [1]3 + [2]3 = [3]3 = [0]3 und für multiplizieren gilt z.B.: [2]3 * [2]3 = [4]3 = [1]3. Addition und Multiplikation lässt sich auch mit Hilfe von Tabellen darstellen. Hier zum Beispiel modulo 4 in Tabellenform: + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 * 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 2.4 Multiplikatives Inverses Das multiplikative Inverse einer Zahl a ist die Zahl, die mit a multipliziert 1 ergibt. Es ist also der Kehrwert von a. D.h. wenn es zu einer positiven ganzen Zahl a eine positive ganze Zahl b gibt, mit a?b ? 1 mod m, so ist b (b < m) diejenige eindeutig bestimmte positive Zahl, die das multiplikative Inverse von a modulo m ist (also einer Zahl innerhalb einer Restklasse). Man schreibt auch b = a-1 mod m. Das multiplikative Inverse zu a modulo m muss nicht immer existieren. Es existiert aber genau dann, wenn a und m teilerfremd sind. Dieses Inverse kann man für kleine Module m direkt aus einer Multiplikationstabelle ablesen. Nehmen wir als Beispiel modulo 4 an, so wäre das multiplikative Inverse für a = 3 die Zahl b = 3, da 3 * 3 = 9 ? 1 mod 4 ist. Dies kann man direkt aus der oben aufgestellten Tabelle herauslesen. Für größere Module m ist die Aufstellung mit Tabellen zu aufwendig. Deswegen werden Verfahren verwendet, mit dem man das multiplikative Inverse viel einfacher bestimmen kann. |
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| 27.12.2022, 15:40 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du musst noch etwas schöner und mathematischer schreiben, benutze latex (hier z.B. unter "Formeleditor"), dann ist das sehr gut, so ist es nur gut. |
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| 27.12.2022, 18:11 | hawe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Restklassen-Tafeln kannst Du unter https://www.geogebra.org/m/gzmx4zyg per Rechts-Klick in Latex abrufen |
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| 29.12.2022, 22:11 | Delta121 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für eure Antworten. Ich wollte noch fragen, ob einer von euch weiß, wie man das noch mit den Restklassenringen verbinden kann oder sollte ich das nicht erwähnen. Vielen Dank für eine Antwort. |
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| 30.12.2022, 09:24 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Verknüpfungstafeln zeigen, dass man Restklassen addieren und multiplizieren kann. Die Restklassen mod m bilden bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0, bezüglich der Multiplikation gilt das Assoziativgesetz, das neutrale Element ist 1, und es gelten die Distributivgesetze. Also ist ein Ring, er heißt Restklassenring mod m. |
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| 30.12.2022, 17:09 | Delta121 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe es nochmals verbessert jetzt. Könntes du mir sagen, ob das jetzt so stimmt oder, ob ich es zu umständlich gemacht habe. Könntest du da mir einen Verbesserungsorschlag nennen. Vielen Dank. 2.2 Multiplikatives Inverses Das multiplikative Inverse einer Zahl a ist die Zahl, die mit a multipliziert 1 ergibt. Es ist also der Kehrwert von a. D.h. sei [a]m ∈ ℤm, dann gibt es ein Element [b]m ∈ ℤm, was das multiplikative Inverse von [a]m ist, falls: [a]m ⋅ [b]m = [1]m gilt. Besitzt [a]m ein solches multiplikatives Inverse, so nennt man [a]m invertierbar. Es gilt: a ⋅ b ≡ 1 mod m. Das multiplikative Inverse zu [a]m muss nicht immer existieren. Es existiert aber genau dann, wenn a und m teilerfremd sind. In diesem Fall wird [a]m als prime Restklasse modulo m bezeichnet. Die primen Restklassen sind genau die multiplikativ invertierbaren Elemente im Restklassenring. Die Menge aller primen Restklassen modulo m wird mit ℤm* abgekürzt. Mit der Multiplikation bildet es die prime Restklassengruppe. Es gibt genau Æ(n) invertierbare Elemente in ℤm, wobei Æ die Euler’sche Æ-Funktion ist. Dieses Inverse kann man für kleine Module m direkt aus einer Multiplikationstafel ablesen. Nehmen wir als Beispiel modulo 4 an, so wäre das multiplikative Inverse für [3]4 das Element [3]4, da [3]4 ⋅ [3]4 = [9]4 = [1]4 ist. Dies kann man direkt aus der oben aufgestellten Tabelle herauslesen. Man kann das Ganze auch über die Repräsentanten lösen, da für die auch gilt, dass der ggT(a, m) = 1 ist. D.h. 3 ⋅ 3 = 9 ≡ 1 mod 4. Für größere Module m ist die Aufstellung mit Tabellen zu aufwendig. Deswegen werden Verfahren verwendet, mit dem man das multiplikative Inverse viel einfacher bestimmen kann. |
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| 30.12.2022, 22:40 | Delta121 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe nochmal einen anderen Text geschrieben. Ist das vielleicht besser. Das multiplikative Inverse einer Zahl a ist die Zahl, die mit a multipliziert 1 ergibt. Es ist also der Kehrwert von a. D.h. sei m ein Element der natürlichen Zahlen und a ein Element der ganzen Zahlen dann heißt b mod m multiplikatives Inverse von a mod, wenn folgende Gleichung gelten soll mit a mal b ist kongruent 1 mod m. Man schreibt auch b = a^-1 mod m. Das multiplikative Inverse zu a modulo m muss nicht immer existieren. Es existiert aber genau dann, wenn a und m teilerfremd sind, das heißt, der ggT(a, m) = 1. In diesem Fall wird dann a mod m als eine prime Restklasse modulo m bezeichnet. Die primen Restklassen sind genau die multiplikativ invertierbaren Elemente im Restklassenring. Die Menge aller primen Restklassen modulo m wird mit Zm* abgekürzt. Mit der Multiplikation bildet es die prime Restklassengruppe. Es gibt genau phi(n) invertierbare Elemente in Zm, wobei phi die Euler’sche phi-Funktion ist. |
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| 31.12.2022, 08:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Geht so und ist fast fehlerfrei. Du hättest große Vorteile, wenn du Latex benutzen würdest. Man könnte deine Texte leichter lesen, du könntest exakter formulieren, und im richtigen Leben brauchst du es auch, um mathematische Arbeiten zu schreiben. Ich weiß ja nicht, wofür du das brauchst, aber wenn das eine Facharbeit werden soll, könntest du noch sehr viel mehr darüber sagen. In der Gruppentheorie spielen die Restklassenringe eine große Rolle für abelsche Gruppen bis hin zum Hauptsatz über abelsche Gruppen. In der Körpertheorie spielen die Restklassenringe modulo Primzahlen eine ausgezeichnete Rolle als Primkörper endlicher Körper bis hin zu algebraischen Funktionenkörpern. In der Zahlentheorie treten sie auch immer wieder auf, und schon die Arithmetik modulo m hat C.F.Gauß als Kongruenzrechnung berühmt gemacht. |
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| 31.12.2022, 14:10 | Delta121 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich brauche das für eine Ausarbeitung übe RSA und hatte mir am Anfang überlegt, ob ich es rein mache, weil ich mich eigentlich etwas schwer tuhe mit den Strukturen. Ich wollte dich noch fragen, welcher meiner Texte der bessere ist. Oder sollte ich einfach, dass nehmen, was ich als erstes geschrieben habe. |
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| 31.12.2022, 15:42 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das RSA-Verfahren hätte Gauß auch schon verstanden, wenn man es ihm um 1810 erklärt hätte, obwohl damals noch keine algebraischen Strukturen "existierten". (Galois (* 25. Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31. Mai 1832 in Paris) hatte zwar seine Theorie der Nullstellen von Polynomen schon "fast" fertig, aber der Gruppenbegriff war noch nicht allgemein bekannt.) Eulerfunktion und Kongruenzrechnung sind völlig ausreichend für die Algorithmen. Man hat das Verfahren nicht früher erfunden, weil der Rechenaufwand ohne Computer zu groß ist, um damit zu codieren und zu decodieren. (Wikipedia erklärt das RSA-Verfahren ganz ordentlich.) |
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| 31.12.2022, 23:07 | Delta121 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist zwar schön und gut, aber meine Frage war, welcher meiner Texte ist besser und obl ich es überhaupt erwähnen sollte, wenn nicht, wollte ich fragen, ob ich dann meinen ersten Text nehmen soll, wo ich versucht habe zu erklären, was das multiplikative Inverse ist. Vielen Dank für eine Antwort. |
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| 01.01.2023, 09:23 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Frohes Neues Jahr. Anscheinend habe ich mich nicht klar ausgedrückt. 1. Deine Texte sind alle nicht gut genug. Wikipedia (Restklasse, Definition) ist gut genug. 2. Wenn du detaillierte Kommentare zu deinen Texten brauchst, musst du lesbare Texte schreiben. |
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| 01.01.2023, 14:49 | Delta121 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe jetzt nochmal zwei neue Texte geschrieben. Kannst mir dazu ein Feedbeek geben. Mir geht es vorallem darum, ob ich es richtig erklärt habe. Text 1: Eine Restklasse [a]m aus Zm heißt multiplikativ invertierbar, falls es ein [b]m aus Zm gibt, sodass [a]m mal [b]m = [1]m gilt. [b]m ist damit das multiplikative Inverse von [a]m. Das multiplikative Inverse zu [a]m muss nicht immer existieren. Aber [a]m aus Zm ist dann genau multiplikativ invertierbar, wenn a und m teilerfremd sind. D.h. es gilt: a mal b ist kongruent zu 1 mod m. Dazu muss man sagen, dass für das multiplikative Inverse nur der kleinste, nichtnegative Repräsentant der entsprechenden Restklasse angegeben wird. Bei teilerfremden Restklassen spricht man auch von primen Restklassen. Die primen Restklassen sind genau die multiplikativ invertierbaren Elemente im Restklassenring. Die Menge aller primen Restklassen modulo m wird mit Zm* abgekürzt und bildet mit der Multiplikation die prime Restklassengruppe. Es gibt genau phi(n) invertierbare Elemente in Zm, wobei phi die Euler’sche Æ-Funktion ist. Text 2: Restklassen können auch invertiert werden. Damit eine Restklasse [a]m in Zm invertierbar ist, d.h. es existiert eine Restklasse [b]m mit a mal b ist kongruent zu 1 mod m, müssen a und m teilerfremd sein, d.h. der ggT(a, m) = 1. Das inverse Element [b]m lässt sich mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus berechnen. Man spricht auch vom multiplikativen Inversen. Was der erweiterte euklidische Algorithmus ist, wird in Punkt 2.6 näher erklärt. (Das "aus" soll für das Elementzeichen stehen. Leider kann ich mit Latex nicht umgehen, deswegen sind ein paar Zeichen ausgeschrieben.) |
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| 01.01.2023, 17:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nicht präzise genug, ich ziehe immer noch diesen Text unter "Definition" vor: https://de.wikipedia.org/wiki/Restklasse Ich verstehe nicht, warum deine Texte besser sein sollten. Dass du Latex hier im Matheboard unter "Formeleditor" lernen kannst, hatte ich auch schon gesagt. Wenn du nicht anfängst, kannst du auch keine Fortschritte machen. |
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| 01.01.2023, 18:03 | Delta121 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was ist den nicht präzise genug? Ich habe doch buchstäblich alles reinetan, was wichtig ist. |
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| 01.01.2023, 19:34 | nichteuerernst | Auf diesen Beitrag antworten » |
https://www.mathelounge.de/984851/restkl...inverse#c984874 |
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| 01.01.2023, 21:06 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Delta121 Ich bin raus. Wenn dich ein Thema nicht interessiert, brauchst du nicht zu fragen. |
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