Seltsame Polynomumwandlung bei Funktionalgleichung

28.12.2022, 22:33

Ulrich Ruhnau

Seltsame Polynomumwandlung bei Funktionalgleichung

Auf youtube.de führt SyberMath vor, wie er die folgende Funktionalgleichung löst:

$\begin{eqnarray*} P(x) \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom

$\begin{eqnarray*} P(x)P\left(\frac 1x\right)=P(x)+P\left(\frac 1x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(3)=28 \end{eqnarray*}$

Nachdem er in Minute 2:20 die Gleichung in die Form

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\left(P(x)-1\right)}_{Q(x)}\left(P\left(\frac 1x\right)-1\right)=1 \end{eqnarray*}$

gebracht hat, was gleichbedeutend sein soll wie:

$\begin{eqnarray*} Q(x)Q\left(\frac 1x\right)=1 \end{eqnarray*}$

macht er den Ansatz $\begin{eqnarray*} Q(x)=x^n \end{eqnarray*}$ und er kommt zum Schuß $\begin{eqnarray*} P(x)=x^3+1 \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt alles fauler Zauber, oder kann man ihm vertrauen?
Folgt aus $\begin{eqnarray*} Q(x)=P(x)-1 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} Q\left(\frac 1x\right)=P\left(\frac 1x\right)-1 \end{eqnarray*}$ ?
Warum ist $\begin{eqnarray*} Q(x) = x^n \end{eqnarray*}$ der einzige mögliche Ansatz?

28.12.2022, 23:15

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RE: Seltsame Polynomumwandlung bei Funktionalgleichung
$\begin{eqnarray*} Q(x)=P(x)-1 \end{eqnarray*}$ soll doch für alle reellen x gelten. Also auch für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Man schreibt $\begin{eqnarray*} x= \frac 1 t \end{eqnarray*}$ und hat das Gewünschte.
Das hat nichts mit Polynomen zu tun. Wenn dir das aber nicht gefällt, setzte $\begin{eqnarray*} P(x)=\sum_{n=0}^Na_nx^n \end{eqnarray*}$ und prüfe es für diesen Fall direkt nach.

Den Ansatz kann man auch einfach herleiten: Aus $\begin{eqnarray*} Q(x)Q\left(\frac 1x\right)=1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} Q(x)x^N Q\left(\frac 1x\right)=x^N \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist der Grad von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ )
Der erste Faktor auf der linken Seite ist ein Polynom vom Grad N. Damit muss das Produkt der übrigen Faktoren eine Konstante sein.

29.12.2022, 07:28

Ulrich Ruhnau

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RE: Seltsame Polynomumwandlung bei Funktionalgleichung

Zitat:

Original von URL
Der erste Faktor auf der linken Seite ist ein Polynom vom Grad N.

Du meinst $\begin{eqnarray*} Q(x) \end{eqnarray*}$ ? Woher weißt Du das?

Zitat:

Original von URL
Damit muss das Produkt der übrigen Faktoren eine Konstante sein.

Meinst Du jetzt $\begin{eqnarray*} x^NQ\left(\frac 1x\right)=c \end{eqnarray*}$ ?

29.12.2022, 08:05

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RE: Seltsame Polynomumwandlung bei Funktionalgleichung
Ja, beides meinte ich.
Wenn P ein Polynom ist, dann auch Q. N definierte ich als seinen Grad.

29.12.2022, 08:52

Ulrich Ruhnau

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RE: Seltsame Polynomumwandlung bei Funktionalgleichung

Zitat:

Original von URL
Den Ansatz kann man auch einfach herleiten: Aus $\begin{eqnarray*} Q(x)Q\left(\frac 1x\right)=1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} Q(x)x^N Q\left(\frac 1x\right)=x^N \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist der Grad von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ )

Wenn man in die Herleitung das hineinsteckt, was man herleiten will, ist das keine Herleitung. Abgesehen davon, geht es hier doch darum zu zeigen, daß $\begin{eqnarray*} Q(x)=x^N \end{eqnarray*}$ das einzige Polynom des Grades N ist, das die Gleichung $\begin{eqnarray*} Q(x)Q\left(\frac 1x\right)=1 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Bis jetzt kann ich aber nicht erkennen, daß das hier gezeigt worden wäre.

29.12.2022, 08:58

Leopold

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Man könnte noch erwähnen, daß, wenn $\begin{align*} Q(x) \end{align*}$ ein Polynom vom Grad $\begin{align*} N \end{align*}$ ist, $\begin{align*} R(x) = x^N Q \left( x^{-1} \right) \end{align*}$ ein Polynom höchstens vom Grad $\begin{align*} N \end{align*}$ ist. Aus

$\begin{align*} Q(x) = a_N x^N + a_{N-1} x^{N-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \end{align*}$

wird

$\begin{align*} R(x) = a_0 x^N + a_1 x^{N-1} + \ldots + a_{N-1} x + a_N \end{align*}$

In $\begin{align*} Q(x) R(x) = x^N \end{align*}$ folgt nun aus Gradgründen, daß $\begin{align*} R(x) \end{align*}$ den Grad 0 besitzen muß. Alle Koeffizienten außer $\begin{align*} a_N \end{align*}$ selbst müssen daher 0 sein:

$\begin{align*} Q(x) = a_N x^N \end{align*}$ (und $\begin{align*} R(x) = a_N \end{align*}$ )

Die Funktionalgleichung $\begin{align*} Q(x) Q \left( x^{-1} \right) = 1 \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} a_N x^N \cdot a_N x^{-N} = 1 \end{align*}$ , also $\begin{align*} \left( a_N \right)^2 = 1 \end{align*}$ , womit sich die beiden Möglichkeiten $\begin{align*} Q(x) = x^N \end{align*}$ oder $\begin{align*} Q(x) = -x^N \end{align*}$ ergeben.

29.12.2022, 09:05

URL

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Ich habe in meine Herleitung nichts hineingesteckt, was nicht vorher schon definiert (P ist nach Voraussetzung ein Polynom) oder hergeleitet worden wäre (Q=P-1 ist ein Polynom und hat dann natürlich einen Grad; zudem die Funktionalgleichung für Q).
Mit Leopolds ausführlicher Herleitung wird das hoffentlich klarer.
Die Idee hinter der Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} x^N \end{eqnarray*}$ ist das Beseitigen der Polstelle. Danach hantiert man nur noch mit Polynomen.

29.12.2022, 09:40

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Leopold
Aus
$\begin{align*} Q(x) = a_N x^N + a_{N-1} x^{N-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \end{align*}$
wird
$\begin{align*} R(x) = a_0 x^N + a_1 x^{N-1} + \ldots + a_{N-1} x + a_N \end{align*}$

Ok, das mache ich noch mal schrittweise und ohne Verdrehung der Reihenfolge.

$\begin{eqnarray*} Q(x) = a_N x^N + a_{N-1} x^{N-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q\left(x^{-1}\right) = a_N x^{-N} + a_{N-1} x^{1-N} + \ldots + a_1 x^{-1} + a_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(x)=x^NQ\left(x^{-1}\right) = a_N + a_{N-1} x^{1} + \ldots + a_1 x^{N-1} + a_0x^N \end{eqnarray*}$

Ok, danke Leopold und danke URL! Ihr seid wahrscheinlich der Meinung, daß alles so richtig ist wie SyberMath es dargestellt hat. Also doch kein fauler Zauber!

29.12.2022, 09:43

Leopold

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Falscher Zauber würde ich nicht sagen. Aber an der Stelle, wo das Polynom auf ein Monom zusammenschrumpft, pfuscht er ein wenig darüber hinweg.

29.12.2022, 09:58

URL

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Das sehe ich wie Leopold

29.12.2022, 15:14

Ulrich Ruhnau

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Schön, die Expertenmeinungen dazu gehört zu haben! Nochmals Danke! Augenzwinkern