Asymptotische bzw. Explizite Abschätzung des Maximums

01.01.2023, 14:05

Pinahoo2006

Asymptotische bzw. Explizite Abschätzung des Maximums

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ sind i.i.d. Exponential( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )-verteilt.

a) Zeige, dass bei geeigneter Zentrierung die Verteilung vom Maximum der $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} exp(exp(-\lambda x)) \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Weise also nach:
$\begin{eqnarray*} \{max\{X_1,\ldots,X_n\}-\frac{log(n)}{\lambda}\leq x\}= \lim_{n \to \infty } exp(-exp(-\lambda x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ ist bekannt. Wie hoch kann das Maximum von $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ mit hoher Wahrscheinlichkeit höchstens werden?

(b) Bestimme mit (a) approximativ $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} \{max\{X_1,\ldots,X_n\}-\frac{log(n)}{\lambda}\leq x\}=0,99 \end{eqnarray*}$ .

(c) Vergleiche das Ergebnis von (b) mit der expliziten Lösung mit $\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich bin hier leider völlig ratlos und wäre über Hinweise und Lösungsvorschläge bzw. -Ansätze dankbar!

01.01.2023, 14:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pinahoo2006
$\begin{eqnarray*} \{max\{X_1,\ldots,X_n\}-\frac{log(n)}{\lambda}\leq x\}= \lim_{n \to \infty } exp(-exp(-\lambda x)) \end{eqnarray*}$

So geschrieben äußerst seltsam: Was soll der Grenzwert rechts, wo der Term doch gar nicht von n abhängt? Und links steht ein Ereignis - geht es nicht eher um die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?

Womöglich meinst du $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P\left(\max\{X_1,\ldots,X_n\}-\frac{\log(n)}{\lambda}\leq x\right) = \exp(-\exp(-\lambda x)) \end{eqnarray*}$ .

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ansonsten ist die Berechnung doch sehr geradlinig möglich: Für $\begin{eqnarray*} Y=\max\left\{X_1,\ldots,X_n\right\} \end{eqnarray*}$ gilt für $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\left(Y\leq t\right) = P\left(X_1\leq t,\ldots,X_n\leq t\right) = \prod_{k=1}^n P\left(X_k\leq t\right) = \left(1-e^{-\lambda t}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} t= x+ \frac{\log(n)}{\lambda} \end{eqnarray*}$ bedeutet das

$\begin{eqnarray*} P\left(Y\leq x+ \frac{\log(n)}{\lambda}\right) = \left(1-e^{-\lambda x-\log(n)}\right)^n = \left(1-\frac{e^{-\lambda x}}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt bekanntlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{t}{n}\right)^n = e^t \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , das gilt dann auch für $\begin{eqnarray*} t= -e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ .

01.01.2023, 19:01

Pinahoo2006

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Pinahoo2006
$\begin{eqnarray*} \{max\{X_1,\ldots,X_n\}-\frac{log(n)}{\lambda}\leq x\}= \lim_{n \to \infty } exp(-exp(-\lambda x)) \end{eqnarray*}$

Oh… Ja das ist natürlich so, wie geschrieben. Da war ich wohl mit der sonstigen Latexeingabe ein wenig durcheinander. Und habe es auch beim nochmal nachlesen nicht bemerkt.

Zitat:

Ansonsten ist die Berechnung doch sehr geradlinig möglich: Für $\begin{eqnarray*} Y=\max\left\{X_1,\ldots,X_n\right\} \end{eqnarray*}$ gilt für $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\left(Y\leq t\right) = P\left(X_1\leq t,\ldots,X_n\leq t\right) = \prod_{k=1}^n P\left(X_k\leq t\right) = \left(1-e^{-\lambda t}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} t= x+ \frac{\log(n)}{\lambda} \end{eqnarray*}$ bedeutet das

$\begin{eqnarray*} P\left(Y\leq x+ \frac{\log(n)}{\lambda}\right) = \left(1-e^{-\lambda x-\log(n)}\right)^n = \left(1-\frac{e^{-\lambda x}}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt bekanntlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{t}{n}\right)^n = e^t \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , das gilt dann auch für $\begin{eqnarray*} t= -e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ .

Was du schreibst ist für mich logisch. Aber ist damit die Gleichheit schon gezeigt?

02.01.2023, 09:02

HAL 9000

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Wenn du mit "Gleichheit" den Grenzwert meinst: Ja, der ist damit gezeigt.

02.01.2023, 23:54

Pinahoo2006

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Vielen Dank.

(b) habe ich nun hinbekommen.

Bei (c) bin ich mir jedoch nicht ganz sicher. Da würde ich mich noch über einen Tipp freuen.

03.01.2023, 07:31

HAL 9000

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Naja, was gibt es denn da noch groß zu rätseln? Du sollst für $\begin{eqnarray*} \lambda=1,n=100 \end{eqnarray*}$ sowie das in b) ermittelte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die beiden Werte $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{\exp\left(-\lambda x\right)}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exp(-\exp(-\lambda x)) \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

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