Chance beim Wichteln |
| 01.01.2023, 16:31 | Weduschij | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Chance beim Wichteln Ferdinand möchte mit seinen Freunden wichteln. Dazu legt jeder einen Zettel mit seinem Namen in einen Beutel, die anschließend verteilt werden. Während des Abends gibt jeder das Geschenk, dass er gerade hat bzw. zu Anfang mitgebracht hat, an denjenigen weiter, den er am Anfang des Abends gezogen hat. Das passiert einige Male, wobei Dohlis feststellt, dass bis auf das erste Mal jedes Mal jemand sein ursprüngliches Geschenk wieder selbst bekommen hat. Nachdem dies sieben Mal in ¨ Folge passiert ist, fragt sie daher Ferdinand, ab wann denn jeder ein fremdes Geschenk bekommt. ? Das ist ganz einfach! Da wir weniger als zwei Dutzend sind, kann es nicht mehr lange dauern.? worauf nach wenigen weiteren Wechseln tatsächlich jeder ein fremdes Geschenk in den Flügeln ¨ hält. Wie viele Freunde hat Ferdinand mindestens eingeladen und wie viele solcher Täusche wären nötig, damit jeder sein eigenes Geschenk zurück bekommt? ¨ Bei dem ganzen Wichteln stellte sich die folgende Frage: Wie hoch ist die Chance, dass beim Wichteln mit 5 weiteren Freunden niemand sich selbst zieht? Meine Ideen: Hab wirklich keine Ahnung wo ich da anfangen soll 
|
||
| 02.01.2023, 08:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Betrachten wir die Permutation der Zettelverteilung und insbesondere deren Zykeldarstellung, und stellen folgendes fest: > dass bis auf das erste Mal jedes Mal jemand sein ursprüngliches Geschenk wieder selbst bekommen hat Das bedeutet, dass fixpunktfrei ist, d.h., nur Zykel der Mindestlänge 2 enthält. > jedes Mal jemand sein ursprüngliches Geschenk wieder selbst bekommen hat. Nachdem dies sieben Mal in Folge passiert ist Das heißt, die Permutationen enthalten für jeweils Fixpunkte. D.h., für jede dieser Zahlen gibt es Zykellängen, die Teiler dieser Zahl sind. Das heißt auf jeden Fall, dass die Zykellängen 2,3,5,7 jeweils mindestens einmal auftreten. Damit sind schon mal 2+3+5+7=17 Leute verbraten. Zusammen mit der Information "da wir weniger als zwei Dutzend sind", können die evtl. verbleibenden Leute auch allenfalls in Zykeln der Längen 2 bis 6 enthalten sein. > ab wann denn jeder ein fremdes Geschenk bekommt. Wir suchen das kleinste , welches nicht Vielfaches irgendeiner der angeführten Zykellängen ist. Das ist offenkundig . > Wie viele Freunde hat Ferdinand mindestens eingeladen Das hatten wir oben schon festgestellt: Es sind mindestens 17 Leute am Wichteln beteiligt, und damit mindestens 16 eingeladene Freunde. > und wie viele solcher Täusche wären nötig, damit jeder sein eigenes Geschenk zurück bekommt? Hier suchen wir die Ordnung der Permutation , die gleich dem kgV der Zykellängen ist. Nun ist , allerdings könnte es unter den verbleibenden bis zu 6 weiteren Gästen auch einen 4er-Zykel geben. In diesem Fall wären dann doch insgesamt Täusche notwendig. |
||
| 02.01.2023, 11:24 | Weduschij | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen vielen Dank |
||
|
|
