Kreisfläche Integral

02.01.2023, 03:11

WinstonYT_12

Kreisfläche Integral

Meine Frage:
Hallo Zusammen

Ich habe eine Frage zu der Aufgabe:
[attach]56598[/attach]

Die Lösung:
[attach]56599[/attach]

Mein Resultat weicht jedoch ab von der Lösung, aber meiner Meinung sollte mein Resultat auch stimmen bzw. macht für mich mehr Sinn. Was meint ihr?

Meine Ideen:
Ich bin so vorgegangen, dass ich den halbkreis berechne und mit dem dreieck zusammen zähle und war auch stark überzeugt, dass es so stimmt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \! \int_{0}^{2-x} \! 1 \, dy \, dx + \int_{0}^{pi} \! \int_{0}^{2*(cos(y)+sin(y))} \! r \, dr \, dy = 2*pi+2 \end{eqnarray*}$

02.01.2023, 07:48

Ulrich Ruhnau

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RE: Kreisfläche Integral
Bei dieser Aufgabe wird mir nicht klar, was $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sein soll. Normalerweise sind $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ unabhängige Variablen.

02.01.2023, 08:20

Finn_

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Gemeint ist die Parameterkurve

$\begin{eqnarray*} [0,\tfrac{\pi}{2}]\to\mathbb R^2,\quad\varphi\mapsto \begin{pmatrix}r(\varphi)\cos(\varphi) \\ r(\varphi)\sin(\varphi)\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Mit der Sektorformel für kartesische Koordinaten ginge es so:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:

/* maxima -qb Datei.mac */
r(phi) := 2*(cos(phi)+sin(phi))$
x(phi) := r(phi)*cos(phi)$
y(phi) := r(phi)*sin(phi)$
f(phi) := trigsimp(x(phi)*diff(y(phi), phi) - y(phi)*diff(x(phi), phi))$
f(phi);
ratsimp(1/2*integrate(f(phi), phi, 0, %pi/2));

02.01.2023, 09:33

Leopold

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Das Bild zeigt, daß es sich bei der Kurve um einen Halbkreisbogen mit Mittelpunkt $\begin{align*} (1,1) \end{align*}$ und Radius $\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}$ handelt, was man natürlich auch nachrechnen kann. Die Fläche setzt sich daher aus einem Halbkreis und einem halben Quadrat der Kantenlänge 2 zusammen. Ihr Wert ist folglich

$\begin{align*} A = \frac{1}{2} \pi \sqrt{2}^{\, 2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = \pi + 2 \end{align*}$

Die Kurve liegt in Polarform vor. Hat ein Punkt das Argument $\begin{align*} \varphi \in \left[ 0 , \frac{\pi}{2} \right] \end{align*}$ , so ist sein Abstand vom Ursprung $\begin{align*} r = r(\varphi) = 2 \left( \sin(\varphi) + \cos(\varphi) \right) \end{align*}$ . Am besten stellt man sich vor, daß sich ein Fahrstrahl um den Ursprung dreht und dabei seine Länge über die durch $\begin{align*} r = r(\varphi) \end{align*}$ gegebene Beziehung ändert (siehe die angehängte Euklid-Datei). Für den Inhalt der vom Fahrstrahl überstrichenen Fläche erhält man

$\begin{align*} A = \frac{1}{2} \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \left( r(\varphi) \right)^2 ~ \dd \varphi = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 2 \left( \cos(\varphi) + \sin(\varphi) \right) \right)^2 ~ \dd \varphi \end{align*}$

Das ergibt sich wie in der Musterlösung durch Integration mittels Polarkoordinaten.

Dein Fehler ist bei der Berechnung der Halbkreisfläche passiert. Anscheinend denkst du dir einen Fahrstrahl, der sich um den Punkt $\begin{align*} (1,1) \end{align*}$ dreht. Dann kannst du aber nicht mit Polarkoordinaten arbeiten. Ich nenne mal den von dir betrachteten Winkel $\begin{align*} \mu \end{align*}$ . Es gilt $\begin{align*} \mu = 2 \varphi \end{align*}$ (Zusammenhang von Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel gemäß Umfangswinkelsatz).

Die Koordinatentransformation ist

$\begin{align*} x = 1 + \varrho \, \cos \left( \mu - \frac{\pi}{4} \right) \end{align*}$
$\begin{align*} y = 1 + \varrho \, \sin \left( \mu - \frac{\pi}{4} \right) \end{align*}$
$\begin{align*} \text{mit} \ \ 0 \leq \varrho \leq \sqrt{2} \, , \ \ 0 \leq \mu \leq \pi \end{align*}$

Die Funktionaldeterminante berechnet sich zu $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ , so daß man für den Flächeninhalt des Halbkreises das Folgende bekommt:

$\begin{align*} A_{\text{Halbkreis}} = \int \limits_0^{\sqrt{2}} \int \limits_0^{\pi} \varrho ~ \dd \mu ~ \dd \varrho \end{align*}$

02.01.2023, 11:23

WinstonYT

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Hallo Leopold

Danke für die Erklärung und den Graphen habe es verstanden smile

Lg
Winston

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