Satz von Moivre und trigonometrische Formeln

02.01.2023, 09:42

MMchen60

Satz von Moivre und trigonometrische Formeln

Hallo, liebe Forumsgemeinde,
zur Aufgabe im Anhang fehlt mir jeglicher Ansatz, also, wo ich anfangen muss, um zur Lösing zu kommen. Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen? Danke.

02.01.2023, 09:58

HAL 9000

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Naja, multipliziere doch einfach mal nach Binomischen Satz aus:

$\begin{eqnarray*} \left(\cos(\varphi)+j\cdot \sin(\varphi)\right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(\cos(\varphi)\right)^{n-k} \cdot \left(j\cdot \sin(\varphi)\right)^k = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} j^k \cos^{n-k}(\varphi) \sin^k(\varphi) \end{eqnarray*}$ .

Speziell für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ ergibt das unter Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} j^2=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j^3=-j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\cos(\varphi)+j\cdot \sin(\varphi)\right)^3 = \cos^3(\varphi) + 3j\cos^2(\varphi) \sin(\varphi) - 3\cos(\varphi) \sin^2(\varphi) - j\sin^3(\varphi) \end{eqnarray*}$

Jetzt dieses Resultat nach Real- und Imaginärteil mit dem Moivre-Ergebnis $\begin{eqnarray*} \cos(3\varphi)+j\cdot \sin(3\varphi) \end{eqnarray*}$ vergleichen, unter Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} \cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)=1 \end{eqnarray*}$ ergibt das rasch das gewünschte Ergebnis.

02.01.2023, 15:33

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Jetzt dieses Resultat nach Real- und Imaginärteil mit dem Moivre-Ergebnis $\begin{eqnarray*} \cos(3\varphi)+j\cdot \sin(3\varphi) \end{eqnarray*}$ vergleichen, unter Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} \cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)=1 \end{eqnarray*}$ ergibt das rasch das gewünschte Ergebnis.

Hallo und besten Dank, habe das nachvollziehen können.
VG Meinolf

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