Zufällige Sehne

02.01.2023, 10:17

Finn_

Zufällige Sehne

Auf dem Einheitskreis werden zwei zufällige Punkte gewählt. Wie groß ist der Erwartungswert der Länge der Sehne, die die beiden Punkte verbindet?

Man erhält ein hochgradig absurdes Resultat, nämlich den Kehrwert eines einfachen Winkels.

02.01.2023, 10:30

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Da du sowohl Resultat als auch passenden Lösungsweg zweifelsohne kennst, wäre der Beitrag wohl besser hier oder dort aufgehoben, nicht wahr? Augenzwinkern

02.01.2023, 11:04

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss man da nicht zuvor flink eine potenziell überschwierige Problemstellung gelöst haben?

02.01.2023, 11:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war vielleicht ursprünglich so angedacht, aber da haben doch inzwischen alle den Überblick verloren. Ich denke, da hat keiner was dagegen, wenn da auch mehrere Fragen parallel dort "offen" sind.

Das Problem ist, dass die "normalen" Fach-Unterforen so gedacht sind, dass man Probleme postet, bei denen man selbst Hilfe braucht. Wenn jetzt nicht Nutzer "Finn_" gestanden hätte, dann hätte ich einen Lösungsansatz gepostet - aber ich nehme an, von mir wolltest du den nicht unbedingt sehen. smile

02.01.2023, 11:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt denn $\begin{align*} \frac{4}{\pi} \end{align*}$ als durchschnittliche Sehnenlänge?

02.01.2023, 12:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für die zufällige Sehnenlänge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{4}{\pi} \end{eqnarray*}$ . Schön glatt ist $\begin{eqnarray*} E(X^2)=2 \end{eqnarray*}$ , was zur dann schon "krummeren" Varianz $\begin{eqnarray*} V(X) = 2-\frac{16}{\pi^2} \approx 0.379 \end{eqnarray*}$ führt.

02.01.2023, 12:53

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Überlegung wäre die folgende. Man lege den Ursprung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt des Kreises und drehe es so, dass sich der erste Punkt in (1, 0) befinde. Nun ist der zweite Punkt gegeben durch den Winkel $\begin{eqnarray*} \Phi, \end{eqnarray*}$ uniform verteilt auf $\begin{eqnarray*} [0,2\pi], \end{eqnarray*}$ dessen Dichte $\begin{eqnarray*} f_{\Phi}(\varphi) = \tfrac{1}{2\pi}1_{[0,2\pi]}(\varphi) \end{eqnarray*}$ ist.

Die Länge bezüglich $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} L(\varphi) = \left\|\begin{pmatrix}\cos\varphi \\ \sin\varphi\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\right\| = \sqrt{(\cos\varphi-1)^2+(\sin\varphi)^2} = \sqrt{2-2\cos\varphi}. \end{eqnarray*}$

Mit dem »Law of the unconscious statistician« findet sich nun der Erwartungswert

$\begin{eqnarray*} E(L(\Phi)) = \int_\mathbb R L(\varphi)f_{\Phi}(\varphi)\,\mathrm d\varphi = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \sqrt{2-2\cos\varphi}\,\mathrm d\varphi = \frac{4}{\pi} = \frac{1}{45^\circ}. \end{eqnarray*}$

02.01.2023, 13:40

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wozu man eine "Law of the unconscious statistician" bemühen muss, weiß ich nicht. Jedenfalls ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2-2\cos(\varphi)} = 2\cdot \left|\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right| \end{eqnarray*}$ ,

was sich dann auch angenehmer integrieren lässt.

02.01.2023, 14:25

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ ließe sich jeder der beiden Punkte über einen uniform verteilten Winkel erhalten. Die Länge berechnet sich insofern als

$\begin{eqnarray*} L(\varphi,\psi) = \left\|\begin{pmatrix}\cos\varphi\\ \sin\varphi\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\cos\psi \\ \sin\psi\end{pmatrix}\right\| = \sqrt{(\cos\varphi-\cos\psi)^2+(\sin\varphi-\sin\psi)^2}. \end{eqnarray*}$

Die gemeinsame Dichte von $\begin{eqnarray*} (\Phi,\Psi) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(\varphi,\psi) = \frac{1}{(2\pi)^2}1_{[0,2\pi]}(\varphi)1_{[0,2\pi]}(\psi). \end{eqnarray*}$

Der gesuchte Erwartungswert findet sich nun via

$\begin{eqnarray*} E(L(\Phi,\Psi)) = \int_\mathbb R\int_\mathbb R L(\varphi,\psi)f(\varphi,\psi)\,\mathrm d\varphi\mathrm d\psi. \end{eqnarray*}$

02.01.2023, 15:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch hier haben wir dann mit

$\begin{eqnarray*} L(\varphi,\psi) = \sqrt{2-2\cos(\varphi-\psi)} = 2\left|\sin\left( \frac{\varphi-\psi}{2}\right)\right| \end{eqnarray*}$

eine vergleichsweise einfach strukturierte Integrandenfunktion.

Die Betrachtung zweier solcher Winkel ist nicht unbedingt nötig, hilft aber evtl. die Zweifler zu beruhigen, denen die vereinfachende Methode "Festlegen des eines Punktes" nicht geheuer ist. Augenzwinkern

02.01.2023, 19:26

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

s. auch:

Bertrand paradox
https://de.wikipedia.org/wiki/Bertrand-Paradoxon_(Wahrscheinlichkeitstheorie)

https://www.youtube.com/watch?v=mZBwsm6B280

02.01.2023, 23:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zufällige Sehne

Zitat:

Original von Finn_
Man erhält ein hochgradig absurdes Resultat, nämlich den Kehrwert eines einfachen Winkels.

Was ich nicht ganz verstehe, ist, warum du dieses Resultat als absurd bezeichnest. Wenn man zum ersten Mal in seinem Leben

$\begin{align*} \int_{-1}^1 \frac{\dd x}{1 + x^2} = \frac{\pi}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\dd x}{1 + x^2} = \pi \end{align*}$

$\begin{align*} \int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{-x^2} \dd x \ = \sqrt{\pi} \end{align*}$

und so'n Zeug gesehen hat, mag man das als absurd empfinden.

Aber sollte der Wert der mittleren Sehnenlänge uns "alte Hasen" wirklich überraschen? Aber vielleicht bin ich auch nur schon zu abgestumpft... Schläfer

Neue Frage »

Antworten »

Zufällige Sehne

Verwandte Themen