Alle Lösungen einer potenzierten komplexen Zahl

02.01.2023, 15:36

MMchen60

Alle Lösungen einer potenzierten komplexen Zahl

Hallo liebe Forumsgemeinde,
meinen die mit "alle Lösungen" das, was ich mir vorgestellt habe, siehe Anhang?
Vielen Dank für Antwort.
M. Müller

02.01.2023, 15:51

HAL 9000

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Hmm, da geht einiges durcheinander: Die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Lösungen (auch "Wurzeln" genannt) von $\begin{eqnarray*} z^n = r\cdot e^{j\varphi} \end{eqnarray*}$ sind

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{r}\cdot e^{j\frac{\varphi + 2k\pi}{n}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufeinander folgende ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , i.d.R. nimmt man da $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall ergibt das $\begin{eqnarray*} 4\cdot e^{j\frac{\frac{\pi}{4} + 2k\pi}{3}} = 4\cdot e^{j\frac{\pi}{12}(1+8k)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2 \end{eqnarray*}$ .

02.01.2023, 15:56

Steffen Bühler

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Siehe auch unseren Workshop:
[WS] Komplexe Zahlen

Viele Grüße
Steffen

02.01.2023, 15:58

Ulrich Ruhnau

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RE: Alle Lösungen einer potenzierten komplexen Zahl
@MMchen
Fast richtig!

$\begin{eqnarray*} z^3=4^3\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) +i\sin\left(\frac{\pi}4\right) \right) =4^3e^{i\left(2\pi n+\frac\pi4\right)}, n\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ Hier zieht man die dritte Wurzel.

Es gibt drei unterschiedliche Lösungen:

$\begin{eqnarray*} z=4e^{i\left(\frac{2\pi}3 n+\frac\pi{12}\right)}, n\in \{0,1,2\} \end{eqnarray*}$

02.01.2023, 16:05

HAL 9000

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stilistische Anmerkung
@MMchen60

Mir fällt noch auf, dass du in derselben Gleichungszeile mal $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und dann aber auch $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ für die imaginäre Einheit verwendest. Man kann sicher mit beiden Symbolen leben, aber in derselben Gleichung sollte man sich m.E. dann schon für eins der beiden entscheiden und dann dabei bleiben. Augenzwinkern

02.01.2023, 16:36

MMchen60

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RE: stilistische Anmerkung

Zitat:

Original von HAL 9000
@MMchen60

Mir fällt noch auf, dass du in derselben Gleichungszeile mal $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und dann aber auch $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ für die imaginäre Einheit verwendest.

@HAL900
Ja, ja, die Mathematiker und die Physiker. Die einen sagen i, die anderen j und da kommt man schon mal durcheinander :-). Dennoch, danke für den Hinweis.

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